В погоне за красотой

Геометрические свойства и свойства времени полностью определяются распределением масс во вселенной.

И подобно тому как для малых участков двумерной искривленной поверхности приближенно выполнялась геометрия плоскости, малые участки четырехмерного мира можно приближенно рассматривать как области, где кривизна равна нулю.

Это означает физически, что в малых пространственно-временных областях можно исключить гравитационное поле и перейти к специальной теории относительности.

По Эйнштейну, геометрические свойства у пространства и времени появляются лишь тогда, когда во вселенной есть материальные тела.

Вот очень грубый и неизбежно искаженный слепок идей общей теории относительности.

Во всей истории ее возникновения замечательны по меньшей мере два обстоятельства.

1. Эйнштейн поначалу даже не был знаком с идеями Римана. Он хотел объяснить равенство инертной и тяжелой массы, а по пути выяснил, что геометрия Римана — необходимая математическая форма для описания его чисто физических соображений.

2. Общая теория — единственный, вероятно, пример физической теории, созданной чисто умозрительно. В основе всей теории был лишь один экспериментальный факт.

Сейчас общая теория имеет уже несколько экспериментальных подтверждений, причем совсем недавно удалось ее проверить в лабораторных условиях.

Теперь — обещанная аналогия.

Представьте себе туго натянутое полотно. Это плоскость. Геодезические линии на ней — прямые. Кривизна равна нулю. Свободная материальная точка будет на такой поверхности двигаться по прямой. Для нас это аналог пространства — времени специальной теории относительности. Бросим теперь в середину камень. Вблизи него полотно продавится. Форма исказится. Геодезические линии уже не будут прямыми. Материальная точка при движении на такой поверхности даже при отсутствии сил будет отклоняться от прямой.

Впрочем, чем дальше от камня, тем меньше искривление. И на бесконечности наше полотно снова плоское. Вот это искривленное полотно и есть грубая модель пространства — времени в присутствии тяготеющих масс.

И теперь последний вопрос. Какова же реальная геометрия нашего мира?

Эксперимент показывает, что по крайней мере в нашей части вселенной кривизна пространства — времени положительна.

Впрочем, это снова очень грубая фраза. Вопрос об истинной геометрии вселенной — вопрос весьма и весьма ядовитый. И здесь физики неизбежно вынуждены фантазировать. Это область, где царствуют гипотезы.

Формально же говоря, вся проблема заключается всего лишь в определении коэффициентов в формуле, определяющей квадрат расстояния в четырехмерном мире: пространство + время. Всего лишь!

На сегодняшний день придумано даже несколько моделей миров. Несколько гипотетических вселенных.

Но в какой мы живем на самом деле, пока неизвестно. Слишком ничтожен (каких-то жалких десять миллиардов световых лет) тот участок вселенной, что доступен нашим телескопам.

Причем локальная геометрия пространства — времени, конечно, меняется от точки к точке. Меняется весьма прихотливо вблизи гравитационных масс.

Привлекая неизбежную аналогию, можно сопоставить наше положение с жителем горного района Земли, пытающегося при помощи геодезических наблюдений установить, что поверхность всей Земли — сфера. При этом область его наблюдений очень и очень ограниченна. Каких-нибудь несколько километров. Очевидно, наш физик окажется в малоприятном положении.

Если даже он сможет установить по своим измерениям, что в среднем радиус кривизны его участка поверхности 6400 километров (примерный радиус Земли), у него не будет стопроцентной уверенности, что в других недоступных ему участках поверхность планеты имеет ту же кривизну. И неизбежно он окажется на том самом пути, который столь усердно предавал анафеме Исаак Ньютон. Он начнет выдвигать гипотезы.

Это и есть удел реальных физиков, когда их спрашивают о геометрии мира в целом.

Здесь я снова предпочитаю остановиться, потому что более интересное и интригующее место найти невозможно.

Сейчас мы оказались перед проблемами, при мысли о которых каждый думающий человек невольно испытывает холодок на коже. И о таких вещах стоит говорить со вкусом и подробно. Либо же не говорить вовсе.

А нам, пожалуй, пора подвести некоторые итоги, а также выполнить неприятное: сообщить по крайней мере об одном главном недостатке всей этой книги.

Два главнейших итога были непосредственным следствием неевклидовой геометрии.

Первое — создание аксиоматики и в дальнейшем математической логики. Это было сделано Гильбертом — мы уже называли его имя. У нас о ней рассказано очень грубо и неточно. Особенно это относится к проблеме полноты аксиом. Сделать лучше можно было, но, к сожалению, лишь существенно затянув наш разговор. Во всяком случае, когда писалась книга, автор не представлял, как можно коротко, точно и понятно рассказать об аксиоматике.

Итак, об аксиоматике было сказано очень мало. И неточно. Единственное, что мне остается в утешение, — небольшая реклама.

Весь круг вопросов, связанных с аксиоматикой, поражает своим изяществом. Даже сама постановка многих проблем порой неожиданна до невероятности. Особенно это относится к проблеме полноты.

Я снова ничего не буду говорить по существу, но для иллюстрации просто сообщу об одном результате. Уже в тридцатые годы нашего века была доказана следующая теорема.

Пусть у вас имеется некоторая логическая система. Базис ее — Основные Понятия и аксиомы. Например, евклидова геометрия. Если эта логическая система «достаточно мощная» (что это значит — мы, естественно, уточнять не будем), то всегда могут быть сформулированы такие теоремы, которые в рамках этой системы нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

На первый взгляд кажется, что дело в нехватке аксиом. Но суть не в этом. Сколько бы аксиом ни брать в основу, как бы ни дополнять нашу систему, странные утверждения, о которых нельзя высказать ничего определенного, все равно останутся.

После того как была доказана эта удивительная теорема, вся проблема непротиворечивости стала выглядеть по-иному.

Но обо всем этом мы умолчали. Так же как и о совершенно уж неожиданном применении математической логики в практике. Имеются в виду, конечно, электронно-вычислительные машины.

Чуть больше, хотя тоже, конечно, очень мало, мы говорили о второй линии развития. О линии, которая проходит через риманову геометрию к общей теории относительности.

И тут совершенно необходимо добавить лишь одно. Вся история развития неевклидовой геометрии, быть может, наиболее яркий пример неожиданных поворотов в развитии науки.

Казалось бы, предельно абстрактные, умозрительные, сугубо теоретические размышления математиков удивительным образом оказались исключительно важны не только для физиков, но и для инженеров.

Глава 12

Эйнштейн

Сущность, природа любого исключительного дарования загадочны.

Это утверждение достаточно банально.

Мы должны с горечью констатировать, что, по существу, и механизм работы и даже, более того, грубая блок-схема изумительного счетно-решающего устройства — нашего мозга — остаются тайной науки. Мы совершенно не представляем, как именно, по какой гениальной схеме эволюция объединила примерно 14–17 миллиардов нейронов — элементарных ячеек этого устройства.

Мы не можем толково ответить даже на такой напрашивающийся вопрос: «Чем именно различаются мозг человека и мозг какого-либо животного?», и вынуждены отделываться либо общими феноменологическими рассуждениями — это епархия биологов, либо блестящими и остроумными, но, увы, бессодержательными парадоксами — это удел писателей.