Математический аппарат инженера

6. Синтез конечных автоматов. Реализация конечных автоматов сводится к синтезу соответствующей комбинационной схемы, преобразующей входные переменные x(ν) и s(ν) в выходные переменные y(ν) и s(ν + 1) в соответствии с заданными характеристическими функциями s(ν + 1) = δ (x(ν), s(ν)) и y(ν)= λ (x(ν), s(ν)). Для сохранения состояний s(ν + 1) до следующего такта в цепь обратной связи вводится необходимое количество элементов памяти.

При реализации автоматов в двоичном структурном алфавите можно использовать рассмотренные ранее методы синтеза

- 571 -

комбинационных схем. Но для этого необходимо закодировать состояния схемы н представить характеристические функции в виде булевых функций двоичных переменных. Такое кодирование можно осуществить преобразованием общей таблицы перехода автомата к таблице соответствия в двоичном структурном алфавите. Если элементы множеств X, Y и S пронумерованы порядковыми числами, начиная с нуля, то им соответствуют коды, представляющие собой двоичные эквиваленты этих чисел. Например, для автомата, заданного в (4), таблицу переходов можно преобразовать к виду:

Заменяя десятичные числа их двоичными эквивалентами, читаемыми сверху вниз, получаем таблицу соответствия, в которой значения функций s(ν + 1) и у(ν) представлены двоичными кодами:

Рис. 239. Структурная схема конечного автомата

Отсюда видно, что комбинационная схема должна иметь четыре входа, соответствующие входным переменным x₁(ν), х₂(ν) и переменным состояния s(ν), s₂(ν), а также три выхода, соответствующие переменным состояния s₁(ν + 1), s₂(ν + 1) и выходной переменной у₁(ν). Синтезировав комбинационную схему, соответствующую полученной таблице и введя два элемента задержки З₁ и З₂, получим структурную схему автомата (рис. 239).

7. Минимизация автоматов. С утилитарной точки зрения интерес представляет только зависимость между входами и выходами автомата, а роль его состоянии сводится исключительно к участию в формировании этих зависимостей в качестве промежуточных переменных. Следовательно, любая совокупность состояний, обеспечивающая требуемые зависимости между входом и выходом, может быть выбрана в качестве множества состоянии автомата. В то же

- 572 -

время этот выбор естественно подчинить определенным целям, например, минимизации числа состояний или оптимизации автомата в каком-либо смысле. Следует иметь в виду, что с уменьшением числа состоянии уменьшается и количество требуемых элементов памяти, но это может привести к усложнению комбинационной схемы автомата. Поэтому синтез наиболее экономичного автомата часто требует поиска удачного компромисса между сложностью его комбинационной и запоминающих частей.

Рис. 240. Граф конечного автомата (а) и его сокращенная форма (б)

Минимизация числа состоянии полных автоматов связана с отношением эквивалентности. Пусть автоматы М₁ и М₂, находящиеся соответственно в начальных состояниях, σ_i и σ_j (обозначения М₁ и М₂ могут относиться к одному и тому же автомату), под воздействием любой входной последовательности выдают одинаковые выходные последовательности, т. е. автоматы М₁ и М₂ в данных состояниях σ_i и σ_j неразличимы по внешним выходам. Такое отношение между состояниями одного и того же или двух различных автоматов обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, следовательно, оно является отношением эквивалентности состояний. Если состояния не эквивалентны, то их называют различимыми. Легко доказать справедливость следующих положений:

1) состояния σ_i и σ_j автомата явно различимы, если различаются соответствующие, им строки в таблице выходов;

2) состояния σ_i и σ_j автомата явно эквививалентны, если соответствующие им строки в таблице переходов и таблице выходов одинаковы или становятся одинаковыми при замене каждого номера σ_i на номер σ_j (или наоборот).

Например, для автомата, граф которого изображен на рис. 240, а, общая таблица переходов имеет вид:

- 573 -

Из этой таблицы следует, что состояния из множества {0, 3, 4}являются явно различимыми с любым состоянием из множества {1, 2, 5, 6}. Поэтому следует искать эквивалентные состояния только среди элементов, принадлежащих одному из этих множеств. Так как строки 0 и 4 одинаковы, а строки 1 и 5 становятся одинаковыми при замене цифры в числителе 1 на 5 (или 5 на 1), то явно эквивалентными являются пары состояний {0,4} И {1,5}.

Объединяя эквивалентные состояния в автомате М₁, получаем эквивалентный автомат М₂ с меньшим числом состоянии, который в любом состоянии нельзя отличить от исходного, наблюдая сигналы на выходах. Очевидно, автоматы М₁ и М₂ являются эквивалентными, если каждому состоянию σ_i , автомата М₁ соответствует, по крайней мере, одно эквивалентное ему состояние автомата M₂, и если каждому состоянию σ_j , автомата М₂ соответствует хотя бы одно эквивалентное ему состояние автомата М₁.

Эквивалентные состояния, например, σ_i и σ_j , удобно объединять по общей таблице переходов, вычеркивая строку σ_j , и заменяя везде в числителе числа σ_j на σ_i . После объединения пар явно эквивалентных состояний может оказаться возможным снова обнаружить такие состояния, которые также объединяются с помощью аналогичной процедуры. В результате последовательного объединения приходим к сокращенной таблице переходов, которой соответствует сокращенный автомат, эквивалентный исходному, но имеющий меньшее число состоянии. Так, для рассматриваемого примера получаем последовательно:

- 574 -

Первая таблица соответствует объединению пар эквивалентных состоянии {0,4} и {1, 5}, а вторая - объединению пары {2, 6}. Сокращенный автомат содержит только четыре состояния (рис.240, б).

8. Эквивалентное разбиение. Если известны все пары эквивалентных состояний конечного автомата, то тем самым на множестве S его состояний определено отношение эквивалентности, которому соответствует некоторое разбиение на классы эквивалентности S = {S₁, S₂ ..., S_ν}. При этом состояние, не имеющее эквивалентного ему состояния, составляет класс эквивалентности, единственным элементом которого является это состояние. Обозначим через σ^'₀, σ^'₁, ..., σ^'_ν представители классов эквивалентности и через М' – автомат, множеством состояний которого является семейство представителей S^' = {σ^'₀, σ^'₁, ..., σ^'_ν}. Можно утверждать, что автоматы М и М' эквивалентны (М ~ М'), причем М' имеет минимальное число состояний, т. е. является минцмальной формой автомата.