Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света

Вероятности того, что первый игрок выиграет (В), проиграет (П) или передаст кости следующему игроку, равны:

Построим дерево вероятностей:

В этой игре вероятность выигрыша А постепенно устанавливается в районе 50 %.

Здесь основную роль играет соотношение трех вероятностей:

P(B) = 5/36 = P(П) => p = q.

P(X) = 26/36 => r = 1 — 2p

Вероятность выигрыша А по ходу игры постепенно приближается к 50 %:

В эту азартную игру играют на вогнутой квадратной доске размером 7 х 7 = 49 клеток. Игроки бросают шарик на доску так, что он несколько раз отскакивает от краев и останавливается в углублении одной из клеток, которая и будет выигрышной. Центральная клетка имеет номер 20. В остальных 48 клетках нарисованы фигуры (круг, треугольник или крест) разных цветов (черного, желтого, зеленого или красного).

Фигуры одного цвета располагаются на диагоналях, как показано на следующей фотографии.

Доска для игры в бола адил.

Каждая фигура каждого цвета повторяется на доске четыре раза. Следовательно, на 48 клетках изображены 16 кругов (4 черных, 4 красных, 4 желтых и 4 зеленых), 16 треугольников и 16 крестов. Ставки делаются на дополнительной доске размером 3 х 4 = 12 клеток, пронумерованных от 1 до 12.

Доска для ставок в игре бола адил.

Если клетка угадана верно, ставка умножается на 10. Можно ставить на одну или более клеток — в этом случае на 10 умножается не вся ставка, а лишь ее часть, соответствующая клетке, где остановился шарик. Предположим, что игрок поставил 30 тысяч рупий, разделив ставку между клетками под номером 4 (черный треугольник) и 8 (черный круг). Если шарик остановится на клетке, где изображен черный круг, игрок получит 130 тысяч рупий — в 10 раз больше, чем ставка в этой клетке (15 тысяч рупий). Вероятность выигрыша при ставке на каждую клетку равна:

P = 1/49 = 2,04%

Если шарик останавливается в центральной клетке под номером 20, все ставки уходят в банк. При ставках игроки не учитывают этот исход, так как клетки в таблице для ставок имеют номера от 1 до 12. С точки зрения игрока, ставящего на одну из 12 клеток, вероятность выигрыша равна:

Р = 1/12 = 8,33 %.

Однако реальная вероятность несколько меньше, так как в таблице ставок не учитывается возможный выигрыш банка:

Р = 4/49 = 8,16 %.

Рассмотрим таблицу ставок и попытаемся ответить, в каком случае выигрыш вероятнее: если мы поставим на два числа по горизонтали или по вертикали? Какая комбинация выиграет с большей вероятностью — 1–2 или 1–5? Комбинация 1–2 выигрывает, если выпадает красный или зеленый треугольник. Комбинация 1–5 выигрывает, если выпадает треугольник или круг красного цвета. Так как красных треугольников столько же, сколько зеленых (по 4), и столько же, сколько черных кругов и черных треугольников (по 4), вероятность выигрыша будет одинаковой:

Р(1,2) = Р(1,5) = 8/49 = 16,3 %.

Игроки понимают, что ставить на единственный исход слишком рискованно, и чаще ставят сразу на два числа.

Несколько вопросов, связанных с игрой, имеют отношение к доске, на которую бросают шарик. Первый вопрос касается формы самой доски: почему она квадратная? Второй вопрос имеет отношение к числу клеток: почему размер доски равен 7 x 7? Почему доска не имеет форму прямоугольника, треугольника, шестиугольника или круга? Разве нельзя играть на квадратной доске, разделенной на 25, 36 или 100 клеток?

Форма доски влияет на траекторию движения шарика, которая определяется направлением броска и отскоками от краев доски. Вопрос о форме доски относится к геометрии, вопрос о числе клеток — к алгебре. Теоретически возможны неслучайные броски, например когда траектория шарика представляет собой квадрат, соединяющий середины сторон доски. Такая траектория возможна в случае, когда мы бросаем шарик из любой точки над одной из сторон доски под углом в 45° к ней.

Но все это лишь теория — благодаря вогнутой форме клеток всякий раз, когда шарик не прокатывается точно по центру клетки, он отклоняется от траектории. В результате траектория оказывается случайной, и исход броска предугадать нельзя. Именно поэтому траектории, подобные ломаной линии, изображенной на доске серого цвета на рисунке ниже, невозможны.

Смоделировать траекторию шара на доске чисто математическими методами нельзя, для этого следует учесть физические факторы, в частности силу трения и силы, обусловленные вогнутой формой клеток, под действием которых траектория шарика при прохождении над клеткой меняется. Необходимость учитывать множество переменных крайне усложняет задачу, и можно считать, что исход игры является случайным.

Вопрос о числе клеток на доске, как мы уже говорили, относится к алгебре. Так как дано три фигуры и четыре цвета, образующие 12 сочетаний, и к ним нужно добавить еще одну клетку (когда шарик попадает на нее, все ставки уходят в банк), число клеток С должно быть на единицу больше числа, кратного 12:

Учитывая, что доска должна иметь квадратную форму, С также должно быть квадратом натурального числа. Искомый результат достигается, если мы рассмотрим квадраты чисел, кратных 6, увеличенные или уменьшенные на единицу:

(6·λ ± 1)² = 36·λ² ± 12λ + 1 = 12λ·(3λ ± 1) + 1 = 1 + число, кратное 12.

Число клеток на доске может быть и другим, но в этом случае вероятность выигрыша будет либо слишком низкой (при С > 49), либо слишком высокой (С = 25).

В своей книге «Африка считает» Клаудия Заславски описывает игру, распространенную в народе кпелле. Игра начинается с того, что 16 камушков раскладываются в два ряда по восемь. Один из игроков загадывает камень, после чего другой игрок должен угадать, какой камень выбрал первый. Для этого он может не более четырех раз спросить, в каком из двух рядов находится выбранный камень. После каждого ответа второй игрок может переставлять камни из ряда в ряд.

Камни необязательно должны быть одинаковыми — для удобства их можно раскрашивать в разные цвета.

Чтобы одержать победу, нужно правильно переставлять камни после каждого ответа на вопрос. Допустим, что первый игрок выбрал камень под номером 13, но мы этого не знаем. Мы видим два ряда камней и спрашиваем: в каком ряду выбранный камень? Первый игрок ответит: в нижнем. Поменяем местами камни, стоящие на нечетных местах.