Истина и красота. Всемирная история симметрии.

Каждое из указанных слагаемых должно иметь положительный численный коэффициент.

Вы, возможно, недоумеваете, почему в списке нет случаев типа

Причина в том, что в этих случаях можно разделить обе части уравнения на неизвестное, в результате чего уравнение сведется к квадратному.

Омар изобрел свои решения не полностью самостоятельно, а основываясь на предшествующих греческих методах решения различных типов кубических уравнений с использованием конических сечений. Он систематически развил эти идеи и решил такими методами все четырнадцать типов кубических уравнений. Предшествующие математики, как он заметил, нашли решения в ряде случаев, но все их методы были очень специальными и каждый случай требовал отдельного построения; до Омара никто не изучал весь охват возможных случаев, не говоря уж о том, чтобы дать их решения. «Я же, напротив, никогда не ослабевал в своем желании сделать известными, притом со всей точностью, все возможные случаи и в каждом из них провести различие между возможным и невозможным». Под «невозможным» он понимал отсутствие положительного решения. Чтобы получить представление о его работе, приведем его решение случая «куб, некоторые стороны и некоторые числа равны некоторым квадратам», что мы бы записали как

(Поскольку нас не заботит положительность или отрицательность, мы бы, скорее всего, перенесли член из правой части в левую с изменением знака; получив таким образом уравнение x³ − ax² + bx + c = 0.)

Омар снабжает своих читателей инструкциями, состоящими в следующей последовательности шагов. (1) Проводим три отрезка с длинами c/b, √b и a так, чтобы образовался прямой угол. (2) Проводим полуокружность, диаметр которой — горизонтальный отрезок. Продолжаем вертикальные прямые до пересечения с ней. Если жирный вертикальный отрезок имеет длину d, добиваемся, чтобы отрезок жирной горизонтальной прямой имел длину cd/√b. (3) Проводим гиперболу (сплошная линия), асимптоты которой (те специальные прямые, к которым приближается гипербола) — серые прямые, проходящие через только что построенную точку. (4) Находим, где гипербола пересекает полуокружность. Тогда длины двух жирных отрезков, обозначенные как x, дают два (положительных) решения кубического уравнения.

Подробности, как всегда, не так важны, как общий стиль. Выполняем ряд эвклидовых построений циркулем и линейкой, потом прибегаем к помощи гиперболы, потом еще немного эвклидовых построений — и готово.

Омар дает аналогичные конструкции для решения каждого из своих четырнадцати случаев и доказывает, что решения верны. В его анализе есть несколько дыр: при некоторых значениях коэффициентов a, b и c требуемые в его построении точки не существуют. В приведенном выше построении, например, гипербола может вообще не пересекать полуокружность. Но если отбросить эти придирки, он выполнил впечатляющую и очень систематическую работу.

Некоторые из образов в поэзии Омара являются математическими и, как представляется, содержат аллюзии на его собственные работы, в тоне возражений самому себе, который проходит через все его творчество:

Одно особенно впечатляющее четверостишие звучит так:

Это напоминает знаменитую платоновскую аллегорию теней на стене пещеры и подходит равным образом для описания и символьных вычислений в алгебре, и человеческой натуры. Омар был талантливым летописцем и того и другого.

Глава 4

Ученый игрок

«Клянусь святым Евангелием Господа нашего и как истинный человек чести не только никогда не публиковать ваши открытия, если вы мне доверите их, но да будет моя вера истинного христианина вам порукой, что я зашифрую их так, чтобы после моей смерти никто не смог их понять». Этот торжественный обет был, как говорят, дан в 1539 году.

Италия эпохи Возрождения была колыбелью нового, и математика не составляла исключения. В иконоборческом духе того времени математики Ренессанса задались целью преодолеть ограничения древней математики. Один из них разрешил загадку кубического уравнения и теперь обвинял другого в воровстве своего секрета.

Гневающегося математика звали Никколо Фонтана по прозвищу Тарталья — Заика. В воровстве интеллектуальной собственности обвинялся математик, врач, неисправимый плут и закоренелый азартный игрок по имени Джироламо Кардано, также известный как Жером Кардан. Около 1520 года Джироламо, как истинный блудный сын, успешно растратил наследство, оставленное ему отцом. Разорившись, он обратился к азартным играм как к источнику дохода, найдя эффективное примененное своих математических способностей для оценки шансов на выигрыш. Он водился с сомнительной компанией; как-то раз, заподозрив другого игрока в нечестной игре, он полоснул его ножом по лицу.

То были суровые времена, и Джироламо был суровым человеком. А кроме того — на редкость оригинальным мыслителем и автором одного из наиболее знаменитых и влиятельных текстов по алгебре во всей истории.

О Джироламо нам известно много, потому что в 1575 году он сам рассказал нам о себе в «Книге моей жизни». Начинается она так:

Как и многие математики того времени, Джироламо занимался астрологией, так что он отмечает астрологические обстоятельства, сопутствовавшие его рождению: