Математический аппарат инженера

Матричное уравнение Ax = q решается умножением обеих его частей слева на обратную матрицу A^-1 т.е. A^-1Ax = A^-1q в результате получаем x = A^-1q.

В соответствии с правилом Крамера неизвестные x_k(k = 1, 2, ..., n) определяются соотношением:

где Δ — определитель системы уравнений Δ_sk — алгебраические дополнения.

- 38 -

Определитель Δ представляет собой числовую функцию, которая вычисляется по определенным правилам на основании квадратной таблицы, состоящей из коэффициентов системы уравнений

Табличное представление определителя Δ по форме совпадает с матрицей системы уравнений, т.е. состоит из тех же элементов и в том же порядке, что и матрица А. В таких случаях его называют определителем матрицы А и записывают Δ = detA.

Алгебраическое дополнение Δ_sk вычисляется как определитель матрицы, полученной удалением из матицы A s-й строки и k-го столбца, причем этот определитель умножается еще на (-1)^s+k. Величину Δ_sk называют также алгебраическим дополнением элемента a_sk матрицы A. Часто определитель матрицы А обозначается через |A|, а алгебраическое дополнение — через A_sk.

Записав для всех элементов столбцевой матрицы x выражения по правилам Крамера, получим решение системы уравнений в виде:

- 39 -

откуда, сравнивая с A^-1q, имеем

Из полученного выражения следует правило определения обратной матрицы: 1) элементы a_ij данной матрицы A n-го порядка заменяются их алгебраическими дополнениями Δ_ij: 2) матрица алгебраических дополнений транспонируется, в результате чего получаем присоединенную или взаимную матрицу к А ( она обозначается через AdjA); 3) вычисляется определитель Δ матрицы А и присоединенная матрица AdjA умножается на величину, обратную этому определителю.

Обратная матрица существует для матрицы А при условии, что detA ≠ 0. Такие матрицы называются неособенными, в отличие от особенных (вырожденных), определитель которых равен нулю. Ниже вычисление обратной матрицы иллюстрируется примером:

- 40 -

Матрица, обратная произведению двух матриц, равна переставленному произведению матриц, обратных исходным, т.е. (AB)^-1 = B^-1A^-1. Действительно, умножив обе части этого равенства на АВ, приходим тождеству E = B^-1A^-1(AB), так как B^-1(A^-1A)B = B^-1EB = B^-1B =E, где E — единичная матрица n-го порядка.

10. Блочные матрицы. Часто матрицу удобно разбить вертикальными и горизонтальными линиями на блоки которые являются матрицами меньших размеров и при выполнении операций рассматриваются как элементы исходных матриц. Операции над блочными матрицами выполняются по сформулированным выше правилам при условии, что эти операции допускаются размерами соответствующих матриц.

Пусть, например, матрицы А и В разбиты на блоки (жирными линиями) так, чтобы для соответствующих блоков имела смысл операция умножения, т.е.

По правилу умножения прямоугольных матриц можно записать:

Вычислим блоки C₁₁ и C₂₁ матрицы C:

- 41 -

В результате имеем

Конечно, тот же результат получается и при непосредственном перемножении матриц. Но разбиение на блоки позволяет оперировать с матрицами меньших размеров ( это бывает необходимо, например, когда не хватает места на бумаге или ячеек оперативной памяти машины) и особенно удобно, если можно выделить нулевые блоки.

Задачи и упражнения.

1. Любая матрица является прямоугольной таблицей. Справедливо ли обратное утверждение, т.е. можно ли считать всякую прямоугольную таблицу матрицей? Если нет,то какие дополнительные требования выдвигаются с позиций матричной алгебры?

2. Какие из приведенных ниже совокупностей объектов представляют собой матрицы:

3. Укажите, какие из приведенных ниже матриц являются равными между собой (при x=2)%

4. При каком значении x матрицы А и В равны:

5. Найти сумму А + В и разность А — В матриц:

6. Найти произведения АВ и ВА и сравнить полученные результаты для матриц:

- 42 -

7. Проверить дистрибутивность умножения слева А(В + С) = АВ + АС и справа (А + В)С = АС + ВС относительно сложения для следующих матриц:

8. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей

9. Каким условиям в общем случае должны удовлетворять элементы квадратных матиц А и В второго порядка, чтобы они были перестановочными (АВ = ВА)? Как выглядят эти условия для случая, когда А симметричная матрица?

10. При каких условиях справедливы матричные соотношения:

(A + B)² = A² + 2AB +B²; (A-B)(A+B) = A² — B²?

11. Каким условиям должны удовлетворять элементы ненулевых квадратных матриц А и В, чтобы АВ = 0?

12. К каким типам относятся матрицы: