Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии

Несмотря на похожие результаты, задачи Лобачевского и Бойяи были различными. Янош Бойяи особенно интересовался разделением различных теорем и результатов на те, которые зависят от пятого постулата Евклида, и на те, которые не зависят от него. Николай Лобачевский был более радикален и совсем отказался от пятого постулата, предложив вместо него другой: через точку вне прямой проходит более одной параллельной линии.

* * *

* * *

Моделью евклидовой геометрии является обычная плоскость с обычными понятиями точки и прямой линии. Модели, описанные ниже, помогут нам лучше представить и понять гиперболическую геометрию, а также эллиптическую геометрию, о которой мы расскажем позже.

Первая модель гиперболической геометрии строится на особой поверхности. Чтобы представить себе такую поверхность, мы должны представить человека, который катит магазинную тележку, или ребенка, который тянет игрушку на веревочке.

Когда ребенок движется по прямой линии и тянет за собой небольшую сумку на колесиках, траекторией ее движения является кривая линия, приближающаяся к траектории движения ребенка. Эта линия называется трактрисой.

Представьте себе человека, который тянет за собой какой-то предмет, и они оба движутся с одинаковой скоростью. В то время как траектория человека является прямой линией, траектория предмета представляет собой кривую линию, постепенно приближающуюся к траектории человека. Этот вид траектории иногда называют «собачьей кривой». В математических терминах это звучит более сложно: говорят, что кривая асимптотически приближается к прямой линии.

Эта кривая также называется трактрисой. Такую траекторию описывает объект, который находился на фиксированном расстоянии и двигался, приближаясь к прямой линии. Это показано на следующем графике:

Здесь точка А движется по прямой линии в направлении, указанном стрелкой, и тянет за собой точку Р. Траектория точки Р называется трактрисой.

Представим теперь, что эта кривая вращается вокруг прямой, образуя поверхность, называемую псевдосферой. Эта поверхность и является моделью гиперболической геометрии. Другими словами, фигуры, изображенные на псевдосфере (например, параллельные линии и треугольники) будут вести себя согласно законам неевклидовой геометрии, не приводя к каким-либо противоречиям.

Аксиомы геометрии Лобачевского следуют из свойств точек и прямых на этой поверхности.

Лобачевский предложил альтернативу пятому постулату: через точку Р вне прямой l можно провести бесконечное число прямых линий, не пересекающихся с прямой l. На этой поверхности параллельные линии не всегда являются эквидистантами — принципиальная разница с евклидовой геометрией — и сумма углов А, В и С меньше 180°.

Прямые линии на этой поверхности являются кратчайшими линиями между точками на ней. Такие линии называются геодезическими. Обратите внимание, что с точки зрения евклидовой геометрии, отказаться от которой очень трудно для неподготовленного ума, эти прямые линии оказываются кривыми. На рисунке ниже изображены несколько параллельных линий с точки зрения геометрии Лобачевского. Они изображены на поверхности псевдосферы.

* * *

* * *

Такую поверхность можно увидеть в любом доме. В обычной спальне можно провести небольшой эксперимент, чтобы понаблюдать, как в гиперболическом мире движутся различные предметы. Нам потребуется кровать с ровной поверхностью, как на евклидовой плоскости. На нее мы поставим подвижный объект (см. рисунок ниже). Рядом с ним положим тяжелый предмет, так чтобы постель прогнулась. Мы теперь видим, что поверхность уже не является плоской, она искривилась. Из-за этой кривизны подвижный объект будет скользить к тяжелому предмету. Поверхность постели вокруг тяжелого предмета похожа на гиперболическую поверхность.

* * *

* * *

Такая гиперболическая модель была предложена Альбертом Эйнштейном при определении пространства-времени. Вселенная Эйнштейна четырехмерная, так как она содержит три пространственных координаты и четвертую координату — время (позже мы расскажем об этом подробнее). Человек не может воспринимать четырехмерную вселенную, поэтому трудно перенести модель с предметами на кровати (это лишь трехмерные объекты) в четырехмерное пространство. Однако мы можем представить, что произойдет. Как и в других областях математики, людям приходится полагаться на воображение и ум.

В 1870 г. немецкий математик Феликс Клейн (1849–1925) представил еще одну модель гиперболической геометрии на плоскости, а затем обобщил ее для пространства. В своей модели Клейн рассмотрел обычный евклидов круг и предложил новые определения точки, прямой, параллельной линии и так далее. Он назвал внутренность круга плоскостью, точки определил как обычные точки внутри круга, за исключением лежащих на окружности, и прямыми линиями назвал хорды круга, но не включающие концов, то есть без точек на окружности. (Напомним, что хордой круга называется отрезок, концы которого лежат на окружности.) Кроме того, параллельными прямыми он называл хорды с одним общим концом. Пересекающимися линиями назывались те, что пересекаются внутри круга, а если линии пересекаются вне круга, то они назывались непересекающимися.