Фейнмановские лекции по физике 1. Современная наука о природе, законы механики

Рассмотрим энергию в другой задаче: задаче о массе, подвешенной на пружине. Когда отклоняют массу от положения равновесия, сила, восстанавливающая ее положение, пропорциональна смещению. Можно ли в этих условиях вывести закон сохранения энергии? Да; потому что работа, совершаемая этой силой, равна

Значит, у массы, подвешенной на пружине, сумма кинетической энергии ее колебаний и

¹/₂ kx² постоянна. Посмотрим, как это происходит. Оттянем массу вниз; она неподвижна и скорость ее равна нулю, но х не равно нулю, теперь величина х максимальна, так что имеется и некоторый запас энергии (потенциальной). Отпустим теперь массу: начнется какой–то процесс (в детали мы не вникаем), но в любое мгновение кинетическая плюс потенциальная энергии будут постоянны. Например, когда масса проходит через точку первоначального равновесия, то х=0, но тогда значение v² наибольшее, и чем больше величина x², тем меньше v² и т. д. Значит, во время колебаний соблюдается равновесие между величинами x² и r². Мы получили, таким образом, новое правило: потенциальная энергия пружины равна ^l/₂ kx², если сила равна–kx.

§ 3. Сложение энергий

Перейдем теперь к более общему случаю и рассмотрим, что произойдет, если тел много. Предположим, что имеется несколько тел; пронумеруем их: i = l, 2, 3, … и пусть все они притягивают друг друга. Что тогда произойдет? Можно доказать, что если сложить кинетические энергии всех тел и добавить сюда сумму (по всем парам частиц) их взаимных потенциальных энергий тяготения –GMm/r_ij, то все вместе даст постоянную:

Как же это доказать? Мы продифференцируем обе стороны по времени и докажем, что получится нуль. При дифференцировании ¹/₂т_iv²_i мы получим производные скорости – силы [как в (13.5)], а потом эти силы заменим их величиной, известной нам

из закона тяготения, и увидим в конце концов, что останется как раз производная по времени от

Начинаем доказательство. Производная кинетической энергии по времени есть

Производная по времени от потенциальной энергии есть

но

так что

потому что r_ij=-r_ji, хотя r_ij=r_}i . Итак,

Теперь внимательно посмотрим, что значит

и

все значения i=1, 2, 3,…, и для каждого i индекс j принимает все значения, кроме i. Если, например, i = 3, то j принимает значения 1, 2, 4, ….

С другой стороны, в (13.16) ? означает, что каждая пара i и j встречается лишь однажды. Скажем, частицы 1 и 3 дают только один член в сумме. Чтобы отметить это, можно договориться, что i принимает значения 1, 2, 3, …, а j для каждого i – только значения, большие чем i Если, скажем, i=3, то j равно 4, 5, 6, …. Но вспомним, что каждая пара i, j дает два слагаемых в сумме, одно с v_i, а другое с v_j, и что оба эти члена выглядят так же, как член в уравнении (13.14) [но только в последнем в сумму входят все значения i и j (кроме i=j)]. В уравнениях (13.16) и (13.15) член за членом совпадут по величине. Знаки их, однако, будут противоположны, так что производная по времени от суммы потенциальной и кинетической энергий действительно равна нулю. Итак, мы видим, что и в системе многих тел кинетическая энергия составляется из суммы энергий отдельных тел и что потенциальная энергия тоже состоит из взаимных потенциальных энергий пар частиц. Почему она складывается из энергий пар? Это можно уяснить себе следующим образом: положим, мы хотим найти всю работу, которую нужно совершить, чтобы развести тела на определенные расстояния друг от друга. Можно это сделать не за один раз, а постепенно, доставляя их одно за другим из бесконечности, где на них никакие силы не влияли. Сперва мы приведем тело 1, на что работы не потребуется, потому что, пока нет других тел, силы отсутствуют. Доставка тела 2 потребует работы W₁₂ =-Gm₁m₂/r_i2. И вот теперь самый существенный момент: мы доставляем тело 3 в точку 3. В любой момент сила, действующая на 3, слагается из двух частей: из силы, действующей со стороны 1, и силы со стороны 2. Значит, и вся произведенная работа равна сумме работ каждой из сил, потому что раз F₃ разбивается на сумму сил

F₃= F₁₃+F₂

то работа равна

Стало быть, вся работа равна сумме работ, произведенных против силы 1 и против силы 2, как если бы они действовали независимо. Продолжая рассуждать таким образом, мы увидим, что полная работа, которую необходимо выполнить, чтобы собрать данную конфигурацию тел, в точности равна значению (13.14) для потенциальной энергии. Именно из–за того, что тяготение подчиняется принципу наложения сил, можно потенциальную энергию представить в виде суммы по всем парам частиц.

§ 4. Поле тяготения больших тел

Теперь рассчитаем поля, встречающиеся во многих физических задачах, когда речь идет о распределении масс. Мы пока не рассматривали распределения масс, а занимались только отдельными частицами. Но интересно рассчитать и поля, образуемые более чем одной частицей. Для начала найдем силу притяжения со стороны плоского пласта вещества бесконечной протяженности. Сила притяжения единичной массы в данной точке Р (фиг. 13.5), конечно, направлена к плоскости. Расстояние от точки до плоскости есть a, а масса единицы площади этой плоскости есть ?., где ?=m/4?a² – поверхностная плотность массы. (Вообще площадь поверхности шарового пояса пропорциональна его высоте.) Поэтому потенциальная энергия притяжения массы dm есть

Но мы видим, что

Значит,

2rdr=-2Rdx,

или

Поэтому

и получается

Стало быть, для тонкого слоя потенциальная энергия массы m', внешней по отношению к слою, такова, как если бы масса слоя собралась в его центре. Землю же можно представить в виде ряда таких слоев, и притяжение каждого из слоев зависит только от его массы; сложив их, получим всю массу планеты; значит, и вся Земля действует так, словно все ее вещество находится в ее центре!

Но посмотрим, что произойдет, если точка Р окажется внутри слоя. Проделывая те же расчеты вплоть до интегрирования, мы получим разность двух значений r, но уже в другой форме: (a+R)-(а–R)=2R (двойное расстояние от Р до центра). Другими словами, теперь W становится равной W=-Gmm'/a, что не зависит от R, т. е. точка Р всюду внутри сферы обладает одной и той же энергией тяготения. А значит, на нее не действует никакая сила, и не нужно никакой работы, чтобы двигать ее внутри. Когда потенциальная энергия тела всюду, в любой точке внутри сферы, одинакова, то на тело не действует никакая сила. Внутри сферы тело не испытывает действия сил, сила действует только снаружи.