Новая философская энциклопедия. Том третий Н—С

ОПРЕДЕЛИМОСТЬ — понятие методологии дедуктивных наук, связанное с выразимостью в рамках некоторой формальной системы одних понятий через другие. Говоря об определимости, имеют в виду те условия, при которых можно считать, что значение того или иного термина полностью или частично определено некоторой совокупностью предложений. Т. к. имена и предметные функторы выразимы посредством соответствующих предикатов, то вопрос об определимости дескриптивных терминов может быть сведен к вопросу об определимости предикатов. Впервые вопрос об определимости был поднят в связи с рассмотрением отношения между Евклидовой и неевклидовыми геометриями в работах А. Падоа. В дальнейшем в четкой форме понятие определимости было введено А. Тарским. Большое значение для теории определимости сыграли интерполяционная теорема Крейга и теорема Э. Бета. В этих работах была показана тесная связь понятия определимости с понятием выводимости. В результате ряд важных проблем, относящихся к определимости, удалось свести к хорошо разработанным проблемам логического вывода. Различают синтаксическое и семантическое понятия явной и неявной определимости. Говорят, что в теории Т предикат Р(х, ..., хп) явно синтаксически определим, если в языке, на котором сформулирована теория Т, найдется такая формула А(х,,..., хп), содержащая в точности переменные х,..., хп и не содержащая предиката Р, что оказывается доказуемо следующее угверждение:Тг-Ухг../хп(Р(х1, ..., хп)^А(х1, ...,хп)). При тех же условиях говорят, что предикат Р(х,,..., хп) явно семантически определим в теории Т, если семантически можно обосновать утверждение: VM (М |= Т => M |= Vx,... Vxn(P(x,,..., xn,) = А(х,,..., хп)), т. е. каждая возможная реализация теории Т, являющаяся ее моделью, является моделью и для формулы Vx,,... Vxn(P(x,,..., xn) = А(х,,..., xn)). Для пер- вопорядковой логики, в силу адекватности ее семантики и синтаксиса, эти два понятия оказываются эквивалентными. Понятие неявной синтаксической определимости задается следующим условием. Пусть Р'(х,, ..., хп,) — п-местный предикат, не содержащийся в теории Т. Пусть далее Т будет теорией, образованной из теории Т, заменой в каждом предложении всех вхождений предиката Р(х,,..., хп) на предикат Р'(х1, ...,хп). Тогда: предикат Р(х, ..., хп) неявно синтаксически определим в теории Т, если ТиГ|- Vx,... Vxn (P(x, ..., хп) = F(x, ..., хп)), т. е. в теории, которая является объединением двух теорий Т и Т, доказуемо утверждение об эквивалентности двух указанных предикатов. Наконец, предикат Р(х,,..., хп) неявно семантически определим в теории Т, если любые две возможные реализации, которые приписывают одно и то же значение всем предикатам, отличным от предиката Р(х,,..., хп), припишут одинаковые значения и самому предикату Р(х,,..., хп). А Падоа доказал метатеорему, согласно которой если предикат Р(х,,..., хп) явно семантически определим в теории, то он и неявно семантически определим в ней. Э. Бет доказал обратную теорему. Вообще, для первопорядковой логики показана эквивалентность всех указанных понятий определимости. В логической литературе кроме указанных рассматриваются и др. виды определимости. Их введение обусловлено типом определений, посредством которых в состав теории вводятся те или иные термины. К ним относятся явные и неявные условные определимости, а также более их общий случай — определимости по случаям. Последний вид определимости играет большую роль при определении операциональных (дис- позиционных) терминов. Рассматриваются также различные виды неполной (частичной) определимости, играющие значительную роль при рассмотрении отношений между теоретическими терминами и терминами наблюдения всоставе прикладных теорий — дизъюнктивная, условно-параметрическая и параметрическая определимость. Для всех них доказан аналог теоремы Э. Бета. Для случая контекстуального определения терминов рассматривается особый вид контекстуальной определимости. Часто в логике термин «определимость» употребляется еще в одном смысле, а именно — в смысле выразимости внелинг- вистических объектов (отношений, свойств, функций) средствами некоторого языка. Понятие определимости в этом смысле было введено А. Тарским и обобщено А. Мостовским. Именно с этим кругом понятий существенно связаны мета- теоремы об ограниченности формализмов. Пусть К — непротиворечивый и замкнутый относительно выводимости класс формул языка L. Тогда л-местное отношение R(x, Xj,..., хп) считается синтаксически К-определимым (выразимым) в языке L, если и только если в этом языке существует формула А, содержащая в точности п попарно различных переменных х,, х^..., хп, удовлетворяющая условию: для любой я-ки объектов к,, Ц,..., кп имеет место: 1. (К(Ц, Ц, ..„к^Афк,^,"..., Dkn)e К), 2. bR(k,, Ц,..., kn) ^-A(Dk,, Dk,,..., Dkn)e К), где Dk — терм, обозначающий объект Ц. Формула А в этом случае называется К-определяющей л-местное отношение Щх,^,...^). Если в некоторой теории класс общезначимых формул (истинных предложений) Тг непротиворечив и замкнут, то в качестве класса К может выступить класс Тг и мы получаем понятие семантической определимости (выразимости) л-мест- ного отношения R(x,, x^..., хп). Пусть в некоторой теории класс теорем Т непротиворечив и замкнут. Тогда в случае К=Т мы получаем понятие рекурсив-

156

ОПРОВЕРЖЕНИЕ ной определимости (Т-определимости). Формула А в этом случае рекурсивно определяет л-местное отношение R(x,, х2,..., хп). Понятия формальной дедуктивной системы и эффективно заданной операции оказываются, т. о., внутренне связанными. Язык выступает как подлинный аналитический метод, как механизм исследования конструирующих мыслительных процедур. Доказано, что если отношение R Т-определимо в достаточно богатой системе (напр., в формальной первопорядко- вой арифметике — Р), то оно общерекурсивно, и обратно. Понятие Т-определимости в Р является абсолютным в том смысле, что им охватываются все разрешимые предикаты и эффективно вычислимые функции. Поэтому для достаточно богатой системы (напр., той же системы Р) такие синтаксические понятия (понятия метаязыка), как «переменная», «предложение», «аксиома», «формальное доказательство» и др. определимы в языке Р, т. е. синтаксические понятия теории выразимы в самой теории. Однако семантические понятия теории не могут быть описаны в языке теории (метатео- ремаТарского). Введение понятия К-определимости дает своеобразный единый метод доказательства ограничительных метатеорем—теорем Тарского, Россера, Геделя и позволяет вскрыть определенную внутреннюю связь теорем об ограниченностях формализмов. Лит.: Смирнов В. А. Логические методы анализа научного знания. М, 1987; Садовский В. #., Смирнов В. А. Полная и неполная определимость в теориях перюго порядка. — В кн.: Методы логического анализа. М., 1977; Смирнова ?. Д Логика и философия. М., 1996; Beth Т. W. The foundations of mathematics. Amst., 1959; Mostowski A. Sentences undecidable in formaliced arithmetic. An expozition of tne theory of Kurt Godel, 1952; Mostowski A. Graig interpolation theorem in some extended systems of logic. — Logic, methodology and philosophy of science. Amst., 1968. В. А. Бочаров, Е. Д. Смирнова

ОПРЕДМЕЧИВАНИЕ И РАСПРЕДМЕЧИВАНИЕ - категории марксистской философии, выражающие собой противоположности, единством и взаимопроникновением которых является человеческая предметная деятельность. Опредмечивание — это процесс, в котором человеческие способности переходят в предмет и воплощаются в нем, благодаря чему предмет становится социально-культурным, или «человеческим предметом» (см. Маркс К. — Маркс К. и Энгельс Ф. Соч., т. 42, с. 121). Деятельность опредмечивается не только во внешнем результате, но и в качествах самого субъекта: изменяя мир, человек изменяет самого себя. Распредмечивание — это процесс, в котором свойства, сущность, «логика предмета» становятся достоянием человека, его способностей, благодаря чему последние развиваются и наполняются предметным содержанием. Человек распредме- чивает как формы прошлой культуры, так и природные явления, которые он тем самым включает в свой общественный мир. Опредмечивание и распредмечивание раскрывают внутренний динамизм материальной и духовной культуры как живого целого, существующего только в процессе непрерывного воспроизведения его и созидания человеческой деятельностью. Эти два взаимосвязанных процесса заключают в себе три уровня: во-первых, деятельность вызывает в объекте или наследует из него такие изменения, которые аналогичны действию сил самой природы; во-вторых, она создает и воссоздает произведения культуры, наследует и творит ее ценности; в-третьих, совершается изменение самого субъекта, его приобщение к другим субъектам, включение в межчеловеческие отношения, в историческую связь с обществом. Г. С. Батищев