Журнал «Компьютерра» № 33 от 11 сентября 2007 года

Космонавты имеют доступ к электронной почте, которая, правда, не отличается оперативностью. Три раза в сутки сохраненные письма с орбиты пересылаются на особый сервер в NASA, откуда попадают уже к своим получателям. То же самое происходит с принимаемой почтой: перед сеансом обмена корреспонденцией космонавты сообщают о тех своих адресах, с которых желают принять сообщения.

Таким образом, устроить DоS-атаку на компьютеры МКС вряд ли получится, а что касается нежелательной почты, то для нескольких человек ее и вручную можно отсечь. К сожалению, и без этого те или иные проблемы в орбитальной "компьютерной группировке" случаются: слишком велика и сложна станция для того, чтобы все на ней работало без сучка и задоринки.

Программные сбои и переустановки там тоже не в диковинку, а ошибки случаются, как и везде, в самый неподходящий момент. Вот только безобидные в домашних условиях зависания или самопроизвольные перезагрузки становятся зловещими, если речь идет о компьютерах, от которых действительно могут зависеть жизни людей.

Увы, независимо от того, где распложен такой компьютер – в больнице, на АЭС или на орбите – он остается электронным прибором, сделанным по людским технологиям, которым идеальность пока не присуща.

НАУКА: Мерцающий компьютер бесконечности

Автор: Леонид Левкович-Маслюк

Бесконечность – дело тонкое, и всякие вольности в обращении с ней выглядят крайне вульгарно. Беда в том, что в математике, особенно в той, что нужна инженерам и естественнонаучникам, вы натыкаетесь на бесконечность на каждом шагу. Чтобы вывести (или хотя бы осмысленно применять) формулы для расчета окружающих нас строений, устройств, механизмов, нужно владеть предельными переходами, решать дифференциальные уравнения, вычислять интегралы, суммировать ряды. Матанализ, первейший инструмент инженера-практика, прочно и глубоко связан с абстрактным и труднопостижимым понятием бесконечности, а уж почему так получилось – этот вопрос лучше адресовать куда-нибудь повыше.

Конечно, в прикладных разделах математики (да и в большинстве теоретических) бесконечность в мистически-пафосном смысле этого слова уже давно и тщательно заметена под ковер. Лучшие умы математики к середине-концу XIX века в основном придали математическому анализу его современную форму, где в рассуждениях и вычислениях фигурируют только конечные величины вместо понятных лишь гениям вроде Ньютона "моментов флюксий". Тем не менее бесконечность как концепция никуда не девается, она таится где-то в глубине, как кащеева игла, и вокруг нее витают темные флюиды логических туманностей и парадоксов, иногда очень эффектных – чего стоит хотя бы знаменитый парадокс Банаха-Тарского (см. стр. 26). Эти туманности, некогда привлекавшие широкое внимание, по-прежнему исследуют энтузиасты – но надо признать, что мода на разработку предмета с гордым названием "основания математики" прошла. Сегодня мало кто верит, что именно на этом пути, истоптанном титанами прошлого, найдется что-нибудь такое, что поможет радикально улучшить математику не в части логического обоснования, а в части прикладных результатов, – другими словами, поможет разработать новый математический язык, позволяющий выразить нечто совершенно новое об, извините за высокий слог, устройстве мира. Впрочем, за эксперименты с бесконечностью охотно берутся увлеченные непрофессионалы; часто – увлеченные катастрофически и безвозвратно. Увы, их писания обычно непригодны для таких журналов, как наш, столь же болезненно увлеченных идеей искать везде и всюду зерна рациональности или хотя бы вменяемости.

Работу математика Ярослава Сергеева, о которой мы сегодня рассказываем, нельзя отнести ни к одному из этих направлений мысли. От первого из них она отличается наглядностью и практической (по замыслу, по крайней мере) ориентированностью, от второго – полным соответствием научным стандартам. Сергеев воплотил в жизнь мечту, часто посещающую школьников и математиков-первокурсников, – придумал арифметику, объединяющую конечные и бесконечные числа. Более того, он разработал (и запатентовал!) конструкцию компьютера, выполняющего операции этой арифметики.

Рецензенты работ Сергеева предрекают, что на основе его результатов будет создано "множество новых мощных инструментов в анализе, информатике, теории множеств, теории измерений". Вполне возможно, что так и произойдет, но нельзя забывать, что такие прогнозы – дело очень неблагодарное. Энтузиазм по поводу перспектив нестандартного анализа – аппарата, созданного в 1960-е годы для введения в матанализ бесконечно малых и бесконечно больших чисел (см. врезку "Реинкарнация грифонов"), – был велик. Сегодня нестандартный анализ жив, но великих надежд с ним уже не связывают.

Вышедшая в 1987 году книга Владимира Успенского "Введение в нестандартный анализ" начиналась с вопроса: "Относятся ли грифоны и единороги к позвоночным?", который иллюстрировал экзотичность темы. В то время слово «грифон» было редким, индустрия фэнтези еще не вышла на книжный рынок, да и самого книжного рынка в России еще не было, да и сама Россия была еще Советским Союзом. Все с тех пор изменилось, а вот арифметика бесконечностей осталась экзотическим предметом – несмотря на то, что нестандартный анализ разрабатывался рядом крупных математиков начиная с 1960-х годов и популярность его была довольно высока.

Нестандартный анализ основан на системе "гипердействительных чисел", содержащей бесконечно малые и бесконечно большие величины и допускающей использование необходимых в анализе функций и эффективное решение уравнений. Построение гипердействительных чисел основано на сложной классификации бесконечных последовательностей обычных действительных чисел. При помощи этого аппарата были решены несколько серьезных задач функционального анализа, его использовали для описания «мгновенных» перестроек структуры решений дифференциальных уравнений. Сейчас "нестандартные методы" проникли в комплексный анализ, теорию чисел, алгебраическую геометрию, даже в некоммутативную геометрию, самый модный и стремительно развивающийся раздел современной математики. Впрочем, создатель некоммутативной геометрии Ален Конн (Alain Connes) высказывался о нестандартном анализе довольно резко. Причина (которую не отрицают, похоже, и энтузиасты нестандартной математики) – практически все, что удалось сделать с помощью этого аппарата, можно сделать и без него. Судя по обзору И. Фесенко (www.maths.nott.ac.uk/personal/ibf/rem.pdf), нестандартные методы сегодня рассматриваются скорее как "путеводная звезда" при поиске новых подходов к задачам.

Ниже мы расскажем об одном из первых приложений "бесконечных чисел" Сергеева – вычислении с их помощью геометрических характеристик фракталов, как классических, так и более общих, мерцающих (blinking fractals). Но прежде давайте разберемся в конструкции новой числовой системы.

Поясняя мотивы для разработки своей системы, Сергеев приводит пример арифметики, используемой одним из живущих в дельте Амазонки племен. Индейцы племени Пираха (Pirahг) считают так: один, два, много. Для них и 1 + 2 = много, и 2 + 2 = много. Что такое 3 или 4, они не представляют. Сергеев уверен, что этот примитивный способ счета очень важен для нас, потому что дает отличную аналогию с современным понятием бесконечности. Действительно, в системе счета Пираха операции много + 1 и много + 2 дают один и тот же результат: много. Нечто похожее мы имеем и в современной математике: ∞ + 1 = ∞ и ∞ + 2 = ∞. Это сравнение наводит на следующую простую мысль: как индейцы Пираха не могут различить числа 3, 4, 5 и т. д. из-за неразвитости их системы записи конечных чисел, так и мы не можем различить бесконечные числа из-за неразвитости наших способов представления бесконечности. Именно поэтому возникают проблемы при вычислениях, связанных с бесконечно большими и бесконечно малыми величинами: невозможность их представления в памяти компьютера, необходимость введения понятия предела, неопределенные формы типа ∞ – ∞ и т. д., заключает Сергеев.