Лестница Шильда (ЛП)

Апплет вычисляет эти матрицы по комбинаторной формуле, основанной на погружении j-спинового представления в 2j-мерное тензорное произведение более фундаментального представления (со спином

1/2).

Каждому ребру приписывается амплитуда, зависящая от значения

т

в начале и конце ребра:

a_cdge(m_s, m_c) = [jm_c|U_j(R)|jm_s]

Для любого вращения

RU_j (R)

действует на дуальные векторы так, что

U_j*(R)|jm| = |jm|U_j (R)^-1

Спиновые состояния в узле со входящими в него ребрами обозначаются j₁,j₂, а спиновое состояние на исходящем ребре обозначается как j

₃.

Их можно сравнить посредством линейной карты

С

между тензорным произведением гильбертовых пространств входящих частиц и исходящей частицы. Узловая амплитуда равна:

a_node(m₁, m₂, m₃) = [j₃m₃|C(|j₁ m₁] × |j₂ m₂])

Карта

С

нужна, чтобы эффекты произвольного вращения

R

коммутировали между собой:

C(U_j1(R)|j₁ m₁]×U_j2(R)j₂ m₂]) = U_j3(R)C(j₁ m₁]×|j₂ m₂])

При этом амплитуда останется неизменной, если каждое спиновое состояние узла подвергнуть одинаковому вращению:

a_node(m₁, m₂, m₃) = (U_j3(R)[j₃m₃|)C(U_j1(R)|j₁ m₁]×U_j2(R)j₂ m₂]) =

= [j₃m₃|U_j3^-1(R)U_j3(R)C(j₁ m₁]×|j₂ m₂]) = j₃m₃|C(|j₁ m₁ × |j₂ m₂])

Требуя, чтобы

С

удовлетворила предыдущему уравнению коммутации, легко рассчитать ее для общего спинового числа. А именно, координаты

С

представляют собой коэффициенты Клебша-Гордана, которыми даются амплитуды двухчастичного состояния для разных значений общего спина.

Теперь, перемножая все узловые амплитуды и все амплитуды на ребрах, а также суммируя произведения по всем значениям

т

в начальной и конечной точках ребра, а также учитывая требование равенства коэффициентов Клебша-Гордана нулю для всех случаев, кроме Σ_m-edgesm = m_out-edge

, можно

построить полную спиновую сеть.

Первоначально я использовал менее очевидный способ. Вышеизложенная схема подсказана мне Дэном Кристенсеном (Dan Christensen), которому я очень благодарен.

На языке теории групп можно назвать карту

С

сплетением

двух представлений группы U

(2)

— того, что отвечает входящим ребрам, и того, что соответствует исходящему ребру. В КТП вообще и квантовой гравитации в частности используются спиновые сети, ребра которых помечены неприводимыми представлениями любой группы G, узлы — сплетениями представлений, а спиновая сеть определяется следом тензора (большого и толстого:-D), образуемого перемножением сплетений и линейных карт представлений с учетом голономий, диктуемых геометрией (или фоновыми полями) для каждого ребра. Для дальнейшего ознакомления

с предметом, помимо {1} и {2}, рекомендую работу Джона Баэза

Spin Networks in Nonperturbative Quantum Gravity http: //www. arxiv. org/abs/gr-qc/9504036

.

Хорошая подборка ссылок на статьи по спиновым сетям и теории спиновой пены собрана у Дэна Кристенсена на сайте

http

://

jdc

.

math

.

two

.

ca

/

sp

in

-

foams

.

[Страничка эта последнее время не обновляется, но многие ссылки актуальны. Доступный начинающим обзор публикаций, вышедших после написания «Лестницы Шильда», можно почерпнуть в лекциях по квантовой гравитации, прочитанных Ли Смолиным в 2011 г. на Закопанской конференции: http: //arxiv.org/

abs

/1102.

3660

v

5].

За десять лет, минувших после выхода в свет «Лестницы Шильда», в петлевой квантовой гравитации и геометрической физике наметился определенный прогресс в исследованиях пространств с множественными взаимодействующими вакуумными состояниями и влияния декогеренции на космологические процессы в крупномасштабной структуре Вселенной. Многие предсказания и гипотезы, сформулированные Иганом, в этих работах нашли превосходное подтверждение.

Наибольший интерес в контексте романа представляет эффект подавления или даже полной блокировки распада «ложного» вакуума декогеренцией. Напомню, что в «Лестнице Шильда» представлена необычная точка зрения на эти процессы: роль «ложного», метастабильного вакуума играет наш собственный, в который погружено все вещество в известной Вселенной.

Как отметил в гл. 7 Тарек, наш вакуум до получения на Станции Мимоза нововакуума сохранял кажущуюся стабильность за счет постоянной декогеренции по образцу квантового эффекта Зенона. Математическое описание этих процессов не особенно сложно, однако дальнейшее изложение все же рассчитано на читателей с хорошим уровнем математической подготовки. При первом знакомстве с книгой этот раздел можно пропустить и вернуться к нему на досуге, если вам покажется необходимым получить более глубокое представление о физике вселенной «Лестницы Шильда».

Рассмотрим модельную двухуровневую систему с детектором. Предположим, что вначале детектор и система не коррелируют:

|ψ] = |ψ_in]_detect × |ψ_sys.

Пусть

гамильтониан взаимодействия приведен к базису

{|↑]_sys, {|↓]_sys }

После эволюции, которую претерпевают система и детектор, получаем:

|↑]_sys|ψ_in]_detect → |↑]_sys|ψ↑]_detect

|↓]_sys|ψ_in]_detect → |↓]_sys|ψ↓]_detect

В предположении, что первоначально двухуровневая система находилась в состоянии когерентной суперпозиции, можно показать, что, как только детектор пооизводит наблюдение над системой (то есть обращает |[ψ↑|ψ↓]| в 0), волновая функция коллапсирует в одно из собственных состояний (

eigenstates

) гамильтониана взаимодействия. Определим фактор декогеренции соотношением

r_dec = [ψ↑|ψ↓].

Если система постоянно запутана с каким-либо квантовым объектом, когерентность ее полностью утрачивается. На этом основан квантовый эффект Зенона.

Рассмотрим эволюцию системы из состояния ψ₁ в состояние ψ₂ путем квантового туннелирования (в романе этому соответствует прыжок сквозь Барьер). Заставим систему взаимодействовать с первоначально некоррелированным с нею окружением. Пусть скорость туннелирования составляет Ξ, тогда для времени переходного процесса t <<1/Ξ система описывается гамильтонианом