А ну-ка, догадайся!

_{Сшив части прежнего ковра, он получил ковер размером 12х12 дм². Дыра бесследно исчезла!}

Могут ли два одинаковых квадрата иметь различную площадь? Во втором парадоксе с коврами мистера Рэнди недостающая площадь имеет правдоподобное объяснение: это дырка, прожженная в ковре.

В отличие от предыдущего парадокса все части примыкают без зазоров, и ни одна часть не перекрывает другую. Куда же исчезает недостающий квадрат со стороной 1?

Чтобы ответить на этот вопрос, приготовим два экземпляра квадрата без дыры. Чем больше получатся квадраты, тем лучше. Один квадрат аккуратно разрежем на части по выкройке, составим из них квадрат с дырой и наложим на него второй квадрат.

Если верхний край и боковые стороны обоих квадратов совпадают, то вы легко заметите, что второй «квадрат» — вовсе не квадрат, а прямоугольник, который выше квадрата на 1/12 дм. Площадь полоски 12х(1/12) дм², выступающей за пределы квадрата, равна площади «бесследно» исчезнувшей дыры.

Итак, недостающий единичный квадрат найден!

Но отчего вытянулся в высоту «квадрат»? От того, что вершина, которая расположена на гипотенузе части, имеющей форму прямоугольника, не совпадает с узлом квадратной решетки, на которую разграфлена бумага. Зная это, вы сможете построить варианты этого парадокса, в которых избыток или недостаток площади больше 1.

Описанный парадокс известен под названием «квадрат Керри» (фокусника-любителя из Нью-Йорка, открывшего основной принцип подобных парадоксов) и существует во множестве вариантов, включающих не только квадраты, но и треугольники. Тем, кто захочет побольше узнать о квадратах и треугольниках, рекомендую обратиться к моим книгам «Математические чудеса и тайны» [10] и «Математические головоломки и развлечения». [11]

Самые забавные варианты этой разновидности парадоксов известны в виде картинок, на которых один из персонажей таинственным образом куда-то исчезает.

Парадоксы с исчезающими фигурками вот уже более ста лет используются в США для рекламы различных товаров. В конце прошлого века известный американский изобретатель головоломок Сэм Лойд придумал вариант парадокса, в котором фигурки китайских воинов располагались по кругу. При повороте диска один из воинов исчезал. С тех пор появилось множество вариантов парадоксов с фигурками, расположенными и вдоль прямой, и по кругу.

Подробно парадоксы такого рода рассмотрены в гл. 5 моей книги «Математические чудеса и тайны» [12].

Чтобы понять, в чем секрет таинственных исчезновений, начертим на листе бумаги десять линий:

Разрезав лист вдоль пунктирной линии, сдвинем нижнюю часть влево и вниз:

Сосчитаем линии. Их теперь только девять! Спрашивать, какая из десяти линий исчезла, бессмысленно: в действительности 10 исходных линий разрезаются на 18 отрезков, из которых составляются 9 новых линии. Каждая из этих линий на 1/9 длиннее каждой из исходных линий. Если нижнюю часть листа сдвинуть назад, то есть вправо и вверх, возникнут 10 исходных линий, каждая из которых на 1/10 короче любой из тех 9 линий, которые были перед вторым сдвигом.

Принцип, положенный в основу многочисленных вариантов парадоксов с исчезновением и появлением, линий и фигурок, давно известен фальшивомонетчикам. Разрезав 9 долларовых купюр на 18 частей вдоль определенных линий защитной сетки и переставив эти части, мошенники получают 10 купюр.

Подделку легко обнаружить, так как цифры номера на фальшивых купюрах оказываются сдвинутыми.

Дело в том, что во избежание подобной подделки номера на купюрах печатаются у противоположных обрезов на разной высоте — вверху и внизу. В 1968 г. в Лондоне за попытку подделать таким образом 5-фунтовую банкноту фальшивомонетчик был осужден на 8 лет тюремного заключения.

_{Хотите верьте, хотите не верьте, но парадоксы с исчезновением фигур имеют нечто общее с методом, которым некий нечистый на руку программист воспользовался, чтобы совершить хищение в одном крупном банке.}

Парадоксы с исчезновением фигур основаны на незаметном «похищении» небольших частей фигуры из разных мест. Так, если разрезать на части первый ковер мистера Рэнди и составить из них прямоугольник, то части будут находить друг на друга вдоль главной диагонали, образуя почти незаметный ромб.

Второй ковер мистера Рэнди, если разрезать его на части и составить из них новый ковер, чуть сокращается по высоте.

После того как компьютер переведет на счет вора 500 долларов, некоторые из клиентов банка получат на 1 пенни меньше процентов, чем им причиталось бы.

_{Топологию иногда называют геометрией на резиновой поверхности, так как она занимается изучением свойств, не изменяющихся при непрерывных деформациях (изгибании, растяжении или сжатии) фигур.}

_{Тор — замечательная поверхность, имеющая форму бублика. Должно быть, вы очень удивитесь, если вам скажут, что проделав в торе из тонкой резины дыру, можно вывернуть его наизнанку. Между тем это действительно возможно, хотя и весьма трудно.}

_{Предположим, что мы приклеили одну ленту вдоль параллели еще не вывернутого тора изнутри, а другую — вдоль меридиана снаружи. Обе ленты не сцеплены.}