Камень, ножницы, теорема. Фон Нейман. Теория игр

КУРТ ГЁДЕЛЬ

Австрийско-американский математик, логик и философ Курт Гёдель (1906- 1978) был младшим из двух сыновей Рудольфа и Марианны Гёделей, немецких иммигрантов, работавших в текстильной промышленности. После окончания учебы в Королевской гимназии Брно Курт в 1924 году уехал учиться в Венский университет. Он поступал туда с четкой целью изучать физику, но под влиянием преподавателей Филиппа Фуртвенглера и Ханса Хана занялся математикой. Уже в то время Гёдель страдал ревматической лихорадкой, и эта болезнь наложила свой отпечаток на характер ученого: он испытывал маниакальное волнение за свое здоровье и главным образом за все, что касалось питания. В 1920-е годы, несмотря на глубокий экономический кризис, Венский университет был культурным и научным центром страны. В 1926 году Гёдель был приглашен на философский семинар в кружок Морица Шлика (1882-1936), который посещали такие физики и математики, как Рудольф Карнап (1891-1970), Ханс Хан (1879-1934), Фридрих Вайсман (1896-1959) и Отто Нейрат (1882-1945). Они впоследствии и составили знаменитый Венский кружок. Философ Карнап и математик Карл Менгер ввели Гёделя в математическую логику. В то время кружок пристально следил за работами Людвига Витгенштейна (1889-1951) о языке для описания языка (метаязыке), и этот подход Гёдель хотел применить к математике. Но ученый не полностью разделял научные воззрения в духе логического позитивизма, царившие в кружке. Он придерживался скорее обратной позиции — чистого платонизма. Гёдель считал, что истина существует независимо оттого, известна она нам или нет. В математике это означало, что теоремы не создаются, а открываются. Гёдель неоднократно подчеркивал, что к своим результатам он пришел, будучи вдохновленным этой платоновской метафизикой. В 1952 году Гарвардский университет наградил Гёделя степенью почетного доктора наук и назвал его «первооткрывателем самых важных математических истин этого столетия».

Курт Гёдель в период работы в Институте перспективных исследований в Принстоне (Нью- Джерси, США) в 1940-е годы.

Именно вторая теорема, которой сам Гёдель не придал большого значения и считал следствием первой, оказала наибольшее влияние на математическое научное сообщество. Ее всегда называли второй теоремой Іеделя, никогда не упоминая вклад фон Неймана.

Сегодня теории Гёделя обобщены и перенесены в самые разные области. Они применяются в информатике, особенно в случае невозможности решить проблему остановки. Эта проблема заключается в том, чтобы найти способ определить, может какой-либо компьютер с произвольным набором установленных программ остановиться после выполнения алгоритма или он зависнет. Еще одно следствие теоремы Гёделя для информатики относится к вирусам, так как доказывает, что «ни одна программа, которая не меняет операционную систему компьютера, не сможет определить все программы, которые ее меняют».

Гильберт довольно пессимистически отнесся к следствиям из теоремы Гёделя, так как очень надеялся на возможность установить такие основания математики, которые запустят самосозидательный процесс, и при помощи него, исходя из простых предложений, сформулированных в непротиворечивой логической системе, можно будет вывести сложные результаты. Гёдель не разделял этого пессимизма, так как не считал, что его теорема неполноты подразумевает ошибочность аксиоматического метода для развития теории математики. По его мнению, это был этап эволюции, на котором главную роль вновь начинала играть научная интуиция, как это и должно быть. Такой взгляд полностью соответствовал философии Гёделя, более близкой к платонизму, чем к логическому позитивизму «Разрушающее» значение его теорем заключалось в том, что механический, точный аспект математики уходил на второй план, выдвигая на первый воображение и интуицию, возвращая математике место духовных наук, которое принадлежало ей по праву, как музыке и философии.

ВЫВОДЫ

Программа Гильберта потерпела неудачу, но фон Нейман не разделял его пессимизма по поводу будущего математики. С практической точки зрения он считал аксиоматизацию множеств, освободившую математику от странных элементов, и последующую аксиоматизацию квантовой механики вполне успешными. Фон Нейман никогда не отказывался от идеи создания логических моделей и стремился как можно больше абстрагировать задачи даже в областях, далеких от математики, что он впоследствии применил в теории игр. Так что, хотя план и провалился, хотя аксиоматизация и не позволяла уничтожить все противоречия и странности, она, тем не менее, помогала их выявить и в какой-то мере контролировать.

Математика всегда давала свои плоды, и фон Нейман не видел причин для изменения ситуации. Несмотря на то что внутренняя правильность логической системы математики была поставлена под вопрос, в истории этой науки начиная с ее появления существовало великое множество доказательств ее эффективности. Фон Нейман утверждал, что в классической математике совершались полезные и одновременно изящные открытия, а ее основания были такими же твердыми и точными, как, например, существование электрона. Уж если, по его мнению, можно было принять правомочность такой науки, как физика, то не стоило сомневаться и в классической математике.

ГЛАВА З

Теория игр

Фон Нейман создал условия для возникновения новой математической теории, известной сегодня как теория игр. С этого момента игры перестали быть развлечением и превратились в сценарий, в котором двое или более человек могли развивать рациональные стратегии, чтобы повлиять на результат партии. Сценарии могли быть абсолютно разными, и для их реализации был необходим такой сложный и фундаментальный аспект, как принятие решений.

Игра — это деятельность, присущая не только человеку, но и большинству высших млекопитающих. Доказано, что игра сама по себе является неотъемлемой частью процессов обучения и развития многих важных качеств. Именно через игру животные учатся координировать свои движения, чтобы охотиться, нападать, защищаться, именно через игру человек развивает многие способности, используя различные элементы для симуляции реальности. Для игры важны три фактора: сценарий, случайность и заклад.

Сценарий игры — первый шаг к пониманию ее структуры, он позволяет создавать математические модели в очень простых ситуациях, таких как партия в шашки, или в очень сложных — например, в настоящем военном сражении.

В любой игре всегда в той или иной степени присутствует случай, который определяет уровень инициативы игроков при выборе стратегии. В играх, где случай почти не играет роли, например в шахматах, инициатива игроков имеет решающее значение. Напротив, в играх, целиком построенных на случае, например при подкидывании монеты, инициатива игроков ограничена закладом.

Заклад — это то, на что идет игра. Он может быть нематериальным — как, например, умения или честь игрока, а вот в игре в рулетку на кону может стоять даже жизнь. В любом случае во всех играх есть тот или иной заклад, даже когда никто ни на что не играет и когда нельзя определить, кто выиграл, а кто проиграл. Самая важная характеристика заклада состоит в том, что ему можно присвоить номер. В самом простом случае, когда речь идет о выигрыше или проигрыше, номера могут быть соответственно 1 и 0. Когда чему-то можно присвоить номер, значит, к нему можно применить математический подход.

Теория вероятностей и статистика появились как следствие систематического изучения игр, но, скорее, их предметом было предугадывание результата, а не сама природа игры. Уже в первых работах фон Неймана содержалась другая точка зрения, очень далекая от статистических подсчетов. В них игра проявила другую свою сущность: она предстала не как событие, зависящее главным образом от воли случая, а как конфликт интересов. В этом смысле исследования фон Неймана необходимо рассматривать как первые в своем роде. Именно из них позже появилась новая ветвь математики — теория игр.