Волшебный двурог

— Плохо я что-то понимаю эту задачу! — заметил Илюша.

— Ты слушай, — отвечал Радикс, — и постепенно уразумеешь. Начнем вот с чего. Пусть наши стороны-множители будут а и b, а их сумма будет с, то есть

Теперь возьмем квадраты их суммы и разности и вычтем один из другого:

Так как (а + b) равно с, то мы можем написать:

с² — (a — b)² = 4ab,

или так еще:

ab — c²/4 — (а — b)² / 4

Отсюда ясно, что поскольку с есть величина постоянная, то произведение ab изменяется только в зависимости от изменения разности (а — b), но так как квадрат этой разности с минусом, то ясно, что это произведение тем больше, чем меньше абсолютная величина разности (а — b). Следовательно, произведение двух чисел тогда достигает максимума, когда абсолютная величина их разности достигнет минимума. Тебе это ясно?

— Как будто ясно.

— Ну, поехали дальше! Давай назовем игреком искомое произведение. А части его — одна будет икс, а другая…

— А другая будет восемнадцать минус икс, — подсказал Илюша.

— Верно. Следовательно, игрек будет записан так:

y = x (18 — x)

— 380 —

Теперь возьмем разность наших множителей. Назовем ее игрек со штрихом, то есть игрек-штрих:

y′ = x — (18 — x)

Так как мы хотим, чтобы этот игрек-штрих стал минимальным, то поищем, чему должен равняться икс, если игрек-штрих станет нулем. И напишем:

х — (18 — х) = 0;

х — 18 + х = 0;

2х = 18;

х = 9.

Произведение достигает максимума, когда одна его часть равна девяти, а следовательно, и другая тоже равна девяти. Другими словами, максимальную площадь из всех прямоугольников с одинаковым периметром имеет квадрат. Составим табличку. В третьей графе ее стоит не самая разность, а ее абсолютная величина. Дальше девяти табличку продолжать не стоит: все будет симметрично повторяться в обратном порядке.

Из двух последних столбцов видно, что когда множители равны, то их разность, как и полагается, равна нулю, а произведение их становится наибольшим, то есть достигает максимума.

— Так, — сказал Илюша. — Действительно, если продолжить табличку и иксу дать значение «десять», то другой множитель будет равен восьми и произведение пойдет на убыль в обратном порядке. Действительно, максимум!

— А теперь давай начертим график нашего уравнения:

у = 18х — x²

— 381 —

Ты видишь, что эта кривая (а это парабола!) как раз проходит через наивысшую точку, когда икс равен девяти. Что означает с геометрической точки зрения то обстоятельство, что для икса, равного девяти, игрек-штрих равен нулю? Дело в том, что игрек-штрих показывает, как меняется угловой коэффициент касательной к параболе. А ты, наверно, помнишь, что этот коэффициент равен тангенсу угла наклона касательной по отношению к положительному направлению оси абсцисс? Ты, наверное, помнишь и то, что когда кривая достигает максимума, то касательная, естественно, располагается…

— Параллельно оси иксов, то есть горизонтально! — подхватил Илюша.

— Верно! Ну, а теперь скажи мне, какой она в таком случае образует угол с осью абсцисс?

— Никакого угла она не образует!

— Никакого?.. — переспросил Радикс. — Таким образом, если тебя кто-нибудь попросит сказать, тепло ли сегодня на улице, то ты посмотришь на градусник за окном, увидишь, нуль градусов, и скажешь, что сегодня никакой температуры не наблюдается. Так я тебя понял?

— Нет, — сказал Илюша, смутившись, — конечно, так сказать нельзя. Тут я должен сказать, что угол этот заключает в себе нуль градусов.

— Как раз! — отвечал Радикс. — А теперь ответь мне, чему равен тангенс нуля градусов?

— Нулю, конечно!

— Ну, так вот игрек-штрих и дает этот самый нуль. Вот как производится изыскание максимумов или минимумов! Это одна из самых важных задач в дифференциальном исчислении. Этим делом очень много и плодотворно занимались Ферма и Паскаль. Впрочем, задача, которую мы сейчас разбирали, была решена еще греческим математиком Никомахом во втором веке нашей эры.

— А на самом деле, когда математики ищут максимум, они тоже так поступают, как ты мне сейчас показывал, или ты это только для меня придумал?

— Так делали в старое время, во времена Ферма, например.

— 382 —

А сейчас это делают немножко не так. Смысл действий, впрочем, один и тот же.