Три дня в Карликании

– Бедный мой сыночек! Где ты сейчас? – не унималась мама-Восьмёрка.

– Успокойтесь, – сказала Четвёрка, – найдётся ваш Нулик. Утро вечера мудренее. Если он не появится сегодня, завтра перевернём всё Арифметическое государство и найдём его обязательно.

В это время объявили о прибытии самолёта с малышами. Четвёрка озабоченно пересчитала своих питомцев и облегчённо вздохнула. Они оказались целы и невредимы.

Все вместе мы возвращались обратно. По дороге малыши наперебой рассказывали о своих приключениях.

Мы дошли до Числовой площади, где пожелали друг другу спокойной ночи и расстались.

Так закончился наш первый день в Карликании.

День второй

Простота…

Проснувшись утром, мы обнаружили, что Сева исчез. Так как все знали его непоседливый характер, никто не стал особенно беспокоиться.

Мы были правы. Через некоторое время он прибежал огорчённый: Нулик так и не нашёлся!

Сева нарочно встал пораньше, чтобы разузнать в городе о пропавшем малыше.

– Давайте сразу же после завтрака отправимся на поиски, – предложила Таня.

– Верно! – обрадовался Сева. – Я слышал, в Карликании есть какое-то местечко. Называется Рим.

– Почему – местечко? Рим – это город, он в Италии, – сказала Таня.

– В Италии один Рим, а в Карликании другой! – отрезал Сева.

– Рим – древнее государство, – сказал Олег. – Его уже давно не существует, а вот остатки Рима, наверное, сохранились здесь.

Я слушал, не вмешиваясь в разговор. Сева спросил меня:

– Не попал ли Нулик в Рим?

– Он не мог туда попасть, – ответил я, – ему там совершенно нечего делать.

– Почему вы знаете?! – кипятился Сева. – Искать – так всюду.

– Ну что ж, я не прочь, – согласился я. – Кстати, познакомимся с обитателями этого «местечка».

Мы пересекли Числовую площадь, прошли кусочек Автоматической улицы и свернули налево.

Перед нами была бесконечная аллея. У входа в неё сидел старый-престарый карликан и смотрел в телескоп.

– Не видно, опять не видно… – бормотал он себе под нос.

– Чего не видно? – заинтересовался Сева. – Дайте мне взглянуть. Может быть, я увижу.

– Ну как же вы можете увидеть то, чего не видно? Не видно конца! Ещё только вчера я заметил в самом конце аллеи огромнейшее число и подумал: «Ну вот, теперь всё. Дальше ничего не может быть». А сегодня взглянул: за тем числом ещё число, да больше вчерашнего!

– А что это за число? – спросила Таня.

– Так вам сразу и объясняй! Какие прыткие! Лучше пройдитесь по этой аллее и глядите во все глаза. Может быть, тогда и поймёте. Может быть!… – И старый ворчун уткнулся в свой телескоп.

Мы пошли по левой стороне аллеи и вдруг услышали команду:

– По порядку номеров ра-а-а-ассчитайсь!

– Это что же, утренняя перекличка? – спросил Сева.

Стоящие по левую сторону числа стали выкрикивать:

– Два, три, пять, семь, одиннадцать, тринадцать…

Голоса становились всё глуше, уходя вдаль.

– Это уже не порядок, а беспорядок номеров, – заметила Таня.

Однако числа называли себя точно в той последовательности, в какой они стояли:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 и так далее.

– Что за сумасшедшие числа? – недоумевал Сева.

– Сами вы сумасшедшие! – возмутился старый карликан. – Да ещё и невежды. Неужели вы не прочитали надписи при входе?

– Нет, – растерялся Сева.

– Ведь это же аллея Простых Чисел! Поняли?

– А что такое простые числа?

– Посмотрите направо, – сказал карликан, – может быть, это прояснит вам мозги.

По правую сторону аллеи стояли совсем другие числа: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27 и так далее.

– Это как раз те числа, – сказала Таня, – которых недостаёт на левой стороне аллеи.

– А им туда нельзя! – захихикал карликан. – Это же составные числа, а не простые.

– Зачем же их здесь держат?

– У меня, кажется, начинает болеть печень от ваших нелепых вопросов! Разве вы не видите, что над вами? Нельзя смотреть только под ноги, иногда не мешает и наверх поглядеть.

Мы подняли головы.

– Волейбольная сетка! – ахнул Сева.

В самом деле, над всей аллеей была натянута гигантская сетка.

– Опять вы сказали чепуху! – рассердился карликан. – При чём здесь волейбол? Это вам не игрушки! И там вовсе не сетка, молодой человек, а решето!

– Решето?! Что же через него просеивают?

– Числа! Числа просеивают!! – закричал карликан, потеряв всякое терпение. – Посмотрите, как их основательно перетряхивают! Всякие отходы, вроде составных чисел, проваливаются сквозь решето, и их отводят на правую сторону аллеи. А в решете остаются в самом чистом виде наши драгоценные, наши ненаглядные простые числа. Их бережно, по порядку расставляют по левую сторону аллеи. Посмотрите, не правда ли, они очаровательны? – растрогался он вдруг.

Ребята из вежливости покивали головами, хотя никто из них никакого очарования в простых числах не находил.

К счастью, в это время нас догнала верная Четвёрка с бантиком. Все шумно обрадовались.

– Какой злой старикан! – пожаловался Сева. – Только и делает, что ворчит…

– Что вы! – рассмеялась Четвёрка. – Самый добрый карликан во всём государстве! Просто он не любит это показывать. Но не стоит отвлекать старика от работы. Я сама вам всё расскажу.

Мы с удовольствием уселись на скамью. И Четвёрка с бантиком начала свой рассказ:

– Давным-давно люди заметили, что есть такие числа, которые никого, кроме самих себя, не признают. Ни на какое другое число, кроме себя, они не делятся. И делают исключение только для единицы. И то только потому, что это деление на них никак не отражается: после деления на единицу они остаются такими же, какими были прежде. Вот эти-то числа люди и назвали простыми, хотя не так. Просто найти их среди других. Более двух тысяч лет назад в Греции знаменитый математик Эратосфен придумал очень остроумный способ выискивать простые числа. Он предложил для этого применять особое решето, сквозь которое все ненужные числа будут просеиваться, а все нужные – простые – оставаться.

– Совсем как промывают золото, – сказал Олег. – Песок уходит, а золото остаётся.

– Прекрасное сравнение! – воскликнула Четвёрка. – Простые числа – это действительно наше золото. Итак, – продолжала она, – чудесное решето назвали решетом Эратосфена. Теперь посмотрим, как оно действует. Давайте запишем все числа, начиная с двойки, до…Впрочем, «до» я сказала не подумав. Ведь числам нет конца. Итак, расставим числа, начиная с двойки, по порядку:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 и так далее.

Такой ряд чисел называется натуральным рядом. Выбросим из этого ряда те числа, которые наверняка не являются простыми, то есть делятся не только на себя, но и на другие числа. Сперва отсеем числа, которые делятся на два. Какие это числа?

– Я знаю, – сказала Таня. – Все чётные числа делятся на два.

– Верно. Отсеем все чётные числа, кроме двойки, и тогда останется вот что:

2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41 и так далее.

Теперь отсеем все числа, которые делятся на три.

Это 6, 9, 12, 15, 18, 21… Но все чётные – 6, 12, 18… – мы уже раньше отбросили. Что же теперь останется в ряду? Вот что:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49, 53…

Видите, всё меньше и меньше остаётся составных чисел в решете.