Алиса в стране математики

— Вот число «пять», — сказала Алиса.

— Я вижу только цифру «пять», — возразил Кот.

— Но разве цифра — это не число? — удивилась Алиса.

— Конечно, нет! — воскликнул Кот. — С помощью цифр только записывают числа, да и то в разные времена разные народы делали это по-разному. Древние египтяне, например, записывали число «пять» так, Кот нарисовал пять палочек:

— А у древних римлян, — продолжал Кот, — для числа «пять» был такой знак:

— Действительно, числа и цифры — это не одно и то же, — признала Алиса, глядя на разные записи числа «пять». — И всё-таки мне трудно поверить, что числа — только воображаемые... Например, пять девочек можно не только вообразить — они могут быть и на самом деле! У меня как раз пять подружек...

— Они приходят к тебе в гости? — поинтересовался Кот.

— Как раз позавчера они приходили на чай, — сказала Алиса.

— И перед каждой из них поставили одну чашку? — спросил Кот.

— Конечно! — удивилась Алиса такому странному вопросу.

— Тогда скажи, — продолжал Кот, — было ли что-нибудь общее у девочек и чашек?

Алиса закрыла глаза и представила стол, за которым сидят пять ее подружек, и перед каждой из них стоит чашка чая — чашек, конечно, тоже было пять...

— Тоже пять! — осенило Алису, и она радостно воскликнула: — Девочек и чашек одинаковое число!

— Правильно! — обрадовался Кот не меньше Алисы. — Число — это и есть то общее, что есть у пяти девочек, пяти чашек, пяти пальцев и даже пяти чувств! Вот и скажи теперь: число — это настоящее или воображаемое?

— Наверное, тоже воображаемое, — признала Алиса. — Но отделить число девочек от самих девочек довольно трудно...

— Трудно, — согласился Кот, — но можно! Как видишь, для того, чтобы по-настоящему разобраться в настоящем, надо иметь хорошее воображение!

Кот сделал знак лапой, и от Алисы к звёздам протянулся ряд светящихся цифр — ими были записаны числа, которые стояли по порядку: 1, 2, 3, 4, 5... Числа выстроились как раз вдоль светящейся струны и уходили вдаль, насколько хватал глаз. Алиса, как зачарованная, смотрела на светящийся ряд чисел: он был очень красив на фоне звёздного неба!

— Вот чудо, с которого начинается вся математика, — торжественно произнёс Кот. — Оно называется «натуральный ряд».

Алиса повернулась к Коту, но обнаружила, что от него осталась одна улыбка. Несколько секунд улыбка Кота ещё витала в пространстве и, наконец, исчезла совсем.

Алиса ступила на струну и пошла вдоль светящихся чисел.

КАК ЛЮДИ УЧИЛИСЬ СЧИТАТЬ

Было время, когда человек уже был человеком, но считать ещё не умел. Точнее, он знал только два числа: «один» и «много». Потом это «много» стало отодвигаться всё дальше и дальше — появились числа «два», «три»... — но это было так медленно, что на каждое новое число уходили столетия, а то и тысячелетия!

Представьте себе: человек уже делал замечательные каменные орудия, западни для диких зверей, шил одежду из шкур — и всё это — проявляя чудеса изобретательности! А вот считать человек не умел. Почему?

Как ни странно, потому, что ему трудно было заметить сходство предметов! Считать ведь можно только предметы, похожие чем-то друг на друга, а первобытному человеку всё казалось различным. Каждый человек из его племени был для него особенным — с каждым его связывали свои особые отношения: ведь всё племя было одной большой семьёй. Каждый зверь, убитый на охоте, тоже был единственным в своем роде — ведь каждая охота запоминалась надолго: она была настолько опасной, что могла стать последней. Вообще мир виделся первобытному человеку намного ярче, чем нам сегодня: даже деревья в лесу не казались ему одинаковыми — глаз его всегда искал, чем отличается одно дерево от другого (иначе легко было заблудиться и погибнуть!).

Однако постепенно человек начинал замечать сходство предметов, а когда люди стали чем-то обмениваться друг с другом, например, менять шкуры зверей на каменные топоры, появилась и потребность в счёте. Самый важный шаг был сделан, когда человек догадался заменить при счёте одни предметы другими, более удобными, потому что они всегда под рукой — например, камешками или раковинами. И когда человек заметил, что у двух шкур и двух камешков есть что-то общее, он сделал одно из величайших изобретений за всю человеческую историю — он изобрёл число!

Со временем человек обнаружил, что удобнее всего пользоваться для счёта предметами, которые находятся на самой его руке, то есть пальцами. Так человек начал считать пятёрками, десятками и двадцатками (в ход шли и пальцы ног!). Счёт десятками сохранился и в нашей десятичной системе счисления. Сохранились и названия некоторых чисел, связанные с первой «вычислительной машиной» — пальцами рук и ног: например, слово «пять» в русском языке происходит от древнеславянского слова «пясть» — рука (вспомните слово «запястье»). А у некоторых племён число «двадцать» называлось «весь человек»!

Этот первобытный человек сделал сейчас великое открытие — он понял, что у двух шкур и двух пальцев есть что то общее!

Записывали числа поначалу совсем просто: делали зарубки на куске дерева или кости.

На этой кости тридцать тысяч лет назад сделаны нарезки — они показывают, что уже тогда наши предки умели не только считать, но и записывать результаты счета!

Когда понадобилось записывать большие числа, то для пятёрок или десяток стали придумывать новые знаки. Со временем понадобились знаки для десятка десятков и так далее. Очень наглядной была система таких знаков у древних египтян:

Вот как египтяне записывали, скажем, число 3246:

Несмотря на свою громоздкость, такая запись чисел была довольно удобной. Однако у неё был очень большой недостаток. Хотите знать, какой? Попробуйте умножить или разделить два числа, записанных древнеегипетским способом!

Запись чисел, похожую на египетскую, использовали и древние римляне, только цифры у них были другими, и обозначались ими не только десятки, но и пятерки, например:

Скажем, число 36 римляне записывали так:

Римскими цифрами иногда пользуются и сегодня: например, ими часто нумеруют главы в книгах. Однако вычислять с помощью римских цифр так же неудобно, как и с помощью египетских.

Казалось бы, удобные цифры должны были изобрести древние греки, которые создали математику как науку. Однако вычислениями греки не увлекались, и поэтому ограничились просто тем, что обозначили числа буквами своего алфавита. Так же, буквами, обозначали числа и в Древней Руси.

Те очень удобные числа, которыми мы пользуемся сегодня, изобрели индийцы: они так любили вычислять, что даже писали математические книги в стихах! (Представляете себе, насколько легче было бы выучить таблицу умножения, если бы она была записана стихами?). Индийцы догадались, что значение цифры может зависеть от её места в записи числа — именно благодаря этому оказалось возможным записывать все числа с помощью всего десяти цифр.

Индийские цифры так сильно упростили вычисления, что со временем завоевали весь мир. В Европу эти цифры попали благодаря арабам, поэтому индийские цифры часто называют арабскими.