Волшебный двурог

—--------------—

Первые архимедовы числа.

Единицы …… 10°

Тысячи …… 10³

Миллионы ….. 10⁶

—--------------—

10⁸ — вторые архимедовы числа (мириады мириад).

—--------------—

Биллионы ….. 10⁹

Триллионы ….. 10¹²

Квадриллионы …. 10¹⁵

—--------------—

10¹⁶ — третьи архимедовы числа.

—--------------—

Квинтильоны …. 10¹⁸ *

Секстильоны …. 10²¹

Септильоны …. 10²⁴

—--------------—

10²⁴ — четвертые архимедовы числа.

—--------------—

Октильоны …. 10²⁷

Нонильоны …. 10³⁰ **

Децильоны …. 10³³

—--------------—

10³² — пятые архимедовы числа.

—--------------—

Тысячи децильонов ….. 10³⁶

Миллионы децильонов …. 10³⁹

Биллионы децильонов …. 10⁴²

—--------------—

10⁴⁰ — шестые архимедовы числа.

—--------------—

Триллионы децильонов . . . 10⁴³

Квадрильоны децильонов . . 10⁴⁸

Квинтильоны децильонов , . 10⁵¹

—--------------—

10⁴⁸ — седьмые архимедовы числа.

—--------------—

Секстильоны децильонов . . 10⁵⁴

Септильоны децильонов . . . 10⁵⁷

Октильоны децильонов . . . 10⁶⁰ ***

—--------------—

10⁵⁶ — восьмые архимедовы числа.

—--------------—

Нонильоны децильонов . . . 10⁶³

Децильоны децильонов . , . 10⁶⁶

—--------------—

10⁶⁴ — девятые архимедовы числа.

—--------------—

* Здесь стоит число, равное сумме зерен пшеницы на шахматной доске в шестьдесят четыре клетки. Примерно оно равно 10¹⁹ · 1,8447.

** Здесь стоит число, равное сумме зерен на шахматной доске в сто клеток. Примерно оно равно 10³⁰ · 1,2677.

*** Здесь стоит число, равное сумме зерен на шахматной доске в сто девяносто шесть клеток. Примерно оно равно 10⁵⁹ · 1,0039.

я впервые знакомился с его математическими предложениями, что они до того трудны, что ум человеческий не в состоянии найти им доказательства. Однако когда узнаешь, как сам Архимед их доказывает, то тебе кажется, будто ты сам нашел это доказательство — до того оно просто и легко».

— Ты знаешь, я иногда сам что-то в этом роде чувствовал!.. Только не но отношению к Архимеду, а вообще по отношению к математике. Я очень хорошо понимаю, что хочет сказать этот древний историк!

— Так оно и должно быть, — с улыбкой ответил Радикс. — Ты испытываешь это светлое чувство радостного удивления перед могуществом человеческого разума, когда встречаешься

— 176 —

с элементарными положениями, а люди, более тебя начитанные, испытывают то же, когда видят более сложные построения. Это вполне естественно. Один из самых крупных математиков семнадцатого века, Лейбниц, который очень много сделал для развития высшей математики, так сказал об Архимеде: «Когда внимательно разбираешься в творениях Архимеда, то постепенно перестаешь удивляться новейшим открытиям современных геометров». Два других великих математика — французы Лагранж и Даламбер — в восемнадцатом веке тоже немало потрудились над созданием высших разделов математики. Они писали об Архимеде: «Ни один из геометров древности не сделал таких многочисленных и важных открытий. Поэтому какими бы важными преимуществами ни обладали новые методы и как бы это ни было общеизвестно, тем не менее каждый математик должен поинтересоваться, какими тонкими и глубокими размышлениями Архимед сумел достигнуть таких сложных результатов». А замечательный английский математик Валлис, современник Ньютона, даже называл его «человеком сверхъестественной проницательности». Да и в гораздо более раннее время, когда ни Лейбница, ни Валлиса, ни Даламбера с Лагранжем не было еще на свете, крупнейшие ученые, которые впервые начали снова двигать вперед математику после долголетнего застоя, такие люди, как, например, Иоганн Кеплер (шестнадцатый-семнадцатый века), прямо говорили, что они пытаются продолжать дело Архимеда, а Бонавентура Кавальери (современник Кеплера и ученик Галилея) с гордостью утверждал, что ему удалось проникнуть в тайны того аналитического метода, которым Архимед пробивался через самые неприступные проблемы. Вот какой это был замечательный человек! Кавальери гордился тем, что сумел восстановить его методы. Мы еще поговорим с тобой об этом замечательном ученом. Ньютон однажды сказал, что он совершил свои открытия, так как «стоял на плечах гигантов». Кто же эти гиганты? Это раньше всех Кеплер и Галилей.

— Да! — отвечал в почтительной задумчивости мальчик. — Только ведь это сочинение Архимеда о счете песка никаких особенных задач не решает. Правда?

— Ошибаешься! — отвечал Радикс. — Это сочинение имеет необыкновенно важное значение, и даже гораздо более важное, нежели решение какой-либо частной проблемы. Оно ставит такие серьезные вопросы, которых никто еще до Архимеда на практике не решался касаться; если же и касался, то, так сказать, несознательно, не представляя себе всей важности этой задачи. Она, в частности, заключается в доказательстве положения, утверждающего, что ум человеческий

— 177 —

способен легко строить числа, превышающие любую заранее заданную величину. Сам Архимед определял задачу этого сочинения так: оно должно доказать, что данное число песчинок не бесконечно и что возможно построить число, превышающее его. Но ведь песчинки — только частный пример, поэтому я настаиваю на моем первом определении задачи «Псаммита» (так называется по-гречески это сочинение Архимеда).

— Это очень интересно, — ответил Илюша поразмыслив. — Но ведь это только для того, чтобы посмотреть, к чему приведет такая странная задача? Не правда ли?

— Напрасно ты так думаешь, — ответил, нахмурясь, Радикс, — совершенно напрасно!.. «Псаммит» был сочинен Архимедом не для праздной забавы, отнюдь. Чем более серьезные задачи ставил перед собой человек в те древние времена (задачи из области физики, механики, астрономии и так далее), тем более сложный математический аппарат ему был нужен. И вот, чтобы начать строить этот аппарат, ему, человеку, и понадобились очень большие числа. Громадные! Необъятные! И «Псаммит» Архимеда был первым серьезным шагом в этой области. После того как содержание этого сочинения Архимеда было усвоено, можно было ставить себе и иные задачи. Например: что мы будем получать, если начнем последовательно делить единицу на ряд чисел Архимеда и дойдем до самых больших из названных им чисел?

— По-моему, — сказал Илюша, — это будет история путешествия синьориты Одной Энной по натуральному ряду.

— Недурно сказано! — воскликнул Радикс. — Недурно!

— По-видимому, эта особа будет все уменьшаться в объеме.

— А не найдешь ли ты такого числа, на которое она все более и более будет походить?

— Не знаю, — произнес мальчик осторожно, — какое же это может быть число. Ну, разве что нуль? То есть я хочу сказать, что чем дальше будет продолжаться прогулка синьориты Одной Энной по натуральному ряду, тем труднее ее будет отличить от нуля.

— Это разумный вывод, — отвечал одобрительно Радикс. — Так, конечно, и будет. Ну, а что случится, по-твоему, если я возьму все значения твоей приятельницы, госпожи Одной Энной, и начну теперь делить единицу на каждое из ее значений? Ну-ка!

— Ясно, — отвечал Илюша, — что ты снова получишь все те целые числа, с которых я начал, когда мы заговорили и синьорите Одной Энной.

— Прелестно! Рад от души!.. Но скажи на милость, а нет ли такой величины или даже такого математического образа, на который все более и более будут походить эти все расту-