Алиса в стране математики

— Это как раз и значит, что двадцать пиратов потеряли оба глаза, — сказал Кот. — Ведь когда ты складывала, то таких пиратов ты посчитала дважды!

— Ну конечно! — воскликнула Алиса. — Как раз эти пираты и входят в оба множества! Но я никогда бы не подумала, что при умножении множеств складываются числа...

— Не только складываются, но и вычитаются, — добавил Кот. — Жаль, что Герцогиня ошиблась!

— А почему вы решили, что она ошиблась? — спросила Алиса. — Может, она просто хотела, чтобы история получилась пострашнее?

— В этом и была её ошибка, — сказал Кот. — И теперь из-за этой ошибки она может не попасть на бал!

Алиса оглянулась, но домик уже скрылся из виду. А посмотрев снова вперёд, Алиса увидела море!

— Странно, — подумала она. — Какой же бал может быть на море?

О МНОЖЕСТВЕ МНОЖЕСТВ

Невозможно даже представить себе, как мы могли бы жить в мире, где всё было бы совершенно непохожим одно на другое! Например, на небе сияли бы совершенно разные звёзды, настолько разные, что их нельзя было бы даже назвать одним словом «звёзды»...

Но, к счастью, в том мире, где мы живём, многие предметы чем-то похожи друг на друга, то есть имеют что-то общее. А когда мы замечаем, что предметы имеют что-то общее, мы — вольно или невольно — объединяем их в одно множество. Только благодаря этому мы можем говорить — ведь любое слово обозначает множество сходных предметов. Например, когда мы говорим «человек», мы имеем в виду одного из множества всех людей, когда говорим «зелёный» — предмет из множества всех зелёных предметов. Можно говорить о множестве дней недели и о множестве цветов радуги, множестве книг и о множестве друзей — множества окружают нас со всех сторон!

Немецкий математик Кантор, основатель теории множеств, писал: «Множество — это многое, мыслимое нами как единое»

Кантор жил в XIX веке, однако множествами учёные пользовались очень давно — с тех пор, как начали классифицировать предметы, то есть искать в них общее и различное. (Любая наука начинается именно с классификации!).

Один аргентинский писатель привёл замечательный пример, как не надо классифицировать. Он придумал «некую китайскую энциклопедию», в которой написано, что животные подразделяются на:

а) принадлежащих императору

б) бальзамированных

в) приручённых

г) молочных поросят

д) сирен

е) сказочных

ж) бродячих собак

з) включённых в настоящую классификацию

и) буйствующих, как в безумии

к) неисчислимых

л) нарисованных очень тонкой кисточкой из верблюжьей шерсти

м) прочих

н) только что разбивших кувшин

о) издалека похожих на мух

Эта удивительная «классификация» предоставляет нам прекрасную возможность порассуждать о множествах.

Прежде всего заметим, что каждая строка определяет какое-то множество животных — пусть странное, но множество!

Некоторые из этих множеств не имеют общих элементов — например, множество молочных поросят и множество бродячих собак. А другие множества, наоборот, имеют общие элементы — скажем, множество бродячих собак и множество животных, буйствующих, как в безумии: ведь среди бродячих собак есть и бешеные. Если два множества не имеют общих элементов, говорят, что эти множества не пересекаются, а если общие элементы есть, то говорят, что множества пересекаются. Слово «пересечение» связано с геометрическими фигурами — если две фигуры пересекаются, у них есть общие точки (хотя бы одна!).

Например, эти две прямые пересекаются в одной точке:

А эти два круга имеют бесконечно много общих точек:

Если же две фигуры не пересекаются, у них нет ни одной общей точки. Таковы, например, параллельные прямые:

или эти два квадрата:

Множество общих элементов двух множеств называется пересечением этих множеств. Например, пересечение множеств всех девочек и множеств всех Алис — это девочки, которых зовут Алисами. Вы уже догадались, конечно, что пересечение множеств и произведение множеств, о котором беседовали Алиса и Гусеница — это одно и то же!

Сумма множеств тоже имеет второе название — «объединение множеств». Например, объединением множеств приручённых животных и сказочных животных будет множество, состоящее из животных, каждое из которых приручённое или сказочное (при этом оно может быть и приручённым и сказочным одновременно!). К такому множеству принадлежат, скажем, дрессированные собачки (приручённые животные), Белый Кролик с часами в жилетном кармане (сказочное животное), а также дрессированные драконы (приручённые и сказочные одновременно). А вот, например, динозавры, действительно жившие на Земле миллионы лет назад, к такому множеству не принадлежат (во-первых, приручить их тогда ещё было некому, а, во-вторых, хотя они и были похожи на драконов, они всё-таки были не сказочными, а настоящими!).

Множество можно задавать не только указанием общего свойства всех предметов, входящих в это множество (как мы это делали до сих пор). Есть и другой способ: просто перечислить все элементы множества (помните множество, состоящее из Алисы и Гусеницы?).

Для того, чтобы легче было разбираться в том, как связаны различные множества, то есть каковы их объединение и пересечение, математик Эйлер (о нём мы уже писали) предложил обозначать множества кругами — эти круги называются обычно «кругами Эйлера». Например, для «слишком страшной истории», которую Герцогиня рассказывала Младенцу, круги Эйлера выглядят так:

Горизонтальными линиями здесь заштриховано «множество пиратов, потерявших левый глаз», вертикальными — «множество пиратов, потерявших правый глаз», а двойная штриховка обозначает пересечение этих множеств, то есть «множество пиратов, потерявших оба глаза».

Раз для множеств можно определить сложение и умножение (пусть даже и с несколько необычными свойствами), значит, можно построить и «алгебру множеств». Эта алгебра действительно была построена, и оказалось, что она в точности совпадает с той «алгеброй логики», которую построил Буль (с ним мы тоже уже знакомы)!

Совпадение это, конечно, не случайно: дело в том, что логика имеет дело с высказываниями, а каждое высказывание — это утверждение о каких-то множествах. Возьмём, например, такое высказывание: «Миша хочет шоколадку или заводную машину!». Здесь речь идёт о предмете, который принадлежит сумме множеств «шоколадки» и «заводные машины». Предположим, выбрана заводная машина.

— Какую машину Миша хочет?

— Красную и большую!

Тут уже говорится о произведении двух множеств: «красных заводных машин» и «больших заводных машин»!

Пока учёные ограничивались конечными множествами, то есть множествами, содержащими конечное число элементов, никаких неожиданностей не возникало: использование множеств позволяло только, как говорил Эйлер, «облегчать рассуждения».

А вот когда стали изучать бесконечные множества, начались чудеса! К ним мы сейчас и перейдём.

НЕБЫЛИЦА О КАНТОРЕ, В КОТОРОЙ ВСЁ — ПРАВДА!